DÉVELOPPEMENT CHOQUANT – SHOCKING-DEVELOPMENT

Ce projet porte sur les systèmes hyperboliques de lois de conservation et la théorie des chocs, en mettant l'accent sur les modèles fondamentaux issus de la physique des milieux continus. Dans ce domaine, des questions fondamentales sur la stabilité et l'existence de solutions avec de grandes données restent ouvertes depuis 200 ans. Ce sujet est intimement lié au sixième problème de Hilbert sur l'axiomatisation de la physique. Des progrès ont été réalisés dans certains cas spécifiques, et correspondent tous des percées majeures. Il s'agit notamment de l'existence et de la stabilité de solutions avec de petites données, de la limite de viscosité nulle et de travaux sur des systèmes particuliers. Les deux principaux objectifs de cette proposition sont (i) d'approfondir notre compréhension de la stabilité et de l'unicité des solutions avec de grandes données, et (ii) de développer une théorie complète de l'existence des solutions. Nous divisons ces axes en quatre lots de travaux. Une part importante de ces travaux portera sur des preuves assistées par ordinateur. Cet axe fera appel à des techniques récemment introduites par le porteur dans des publications dont il est l’auteur unique. Ces idées sont novatrices dans la littérature hyperbolique. Dans des travaux plus récents du porteur, cette nouvelle méthodologie a permis de résoudre la question, longtemps posée, de l'unicité de la nappe de tourbillon compressible 2D. Les solutions aux lois de conservation peuvent être considérées comme des ondes progressives. En raison de la forte non-linéarité des équations, les profils des ondes deviennent progressivement plus raides jusqu'à la formation d'une discontinuité par saut. Cette discontinuité se propage sous forme de choc. Les chocs sont des phénomènes physiques qui peuvent se manifester par un saut de densité ou de vitesse, etc. Il en résulte que la théorie des lois de conservation doit considérer les solutions au sens faible. Parmi cette classe de solutions faibles, l'unicité est perdue. La question devient alors : après la formation du choc, comment analyser la solution de manière mathématiquement bien définie ? Il s'agit d'un problème important pour les systèmes physiques.