Feuilletages symplectiques singuliers en topologie de contact, symplectique et de Poisson – SiSyFo

La topologie de contact et la topologie symplectique sont des branches bien établies de la topologie différentielle, qui portent respectivement sur l’étude des structures de contact et des structures symplectiques, définies sur des variétés de dimension impaire et paire. Malgré leur définition géométrique, ces structures sont de nature très topologique. En effet, plusieurs travaux au cours des quarante dernières années ont montré que la topologie de contact et la topologie symplectique se caractérisent de manière remarquable par une interaction subtile entre des phénomènes « flexibles » (c’est-à-dire topologiques) et des phénomènes « rigides » (c’est-à-dire géométriques).
La topologie de Poisson s’intéresse à l’étude des structures de Poisson. Celles-ci généralisent les structures symplectiques (feuilletées) et apparaissent aussi bien sur des variétés de dimension paire qu’impaires. Leur structure locale est très géométrique, sans forme normale unique, mais leur comportement global peut s’interpréter de façon topologique grâce au feuilletage symplectique (singulier) qu’elles induisent.

SiSyFo est un projet à l’interface entre la topologie de contact, symplectique et de Poisson, dont les principaux objets d’étude sont les feuilletages symplectiques (singuliers) qui apparaissent naturellement dans toutes ces théories.
Premièrement, nous visons à étendre le programme des confoliations en dimension 3 d’Eliashberg–Thurston aux dimensions supérieures : en étudiant la géométrie et la topologie de leurs feuilletages caractéristiques, qui sont symplectiques et singuliers, nous visons à démontrer des résultats d’approximation et de déformation par des structures de contact pour les confoliations en grande dimension, ainsi qu’à étudier leurs remplissages symplectiques.
Deuxièmement, nous visons à développer l’étude des feuilletages symplectiques (forts), en particulier dans la direction de résultats de rigidité structurelle et de type Novikov.
Enfin, nous cherchons à obtenir une compréhension systématique — par exemple via des résultats de rigidité de nature globale — des structures de Poisson, en étudiant leurs feuilletages symplectiques singuliers.

Tout cela sera réalisé au moyen d’un large éventail d’outils, incluant des constructions ad hoc explicites, les courbes pseudo-holomorphes, la théorie de Floer et les techniques de Donaldson.