Métriques canoniques, quantification et filtrations – CANQUANTFILT

L’un des objectifs majeurs de la géométrie complexe est d’explorer les liens entre les propriétés géométriques des variétés complexes et leur théorie des fonctions holomorphes. Plus précisément, dans le prolongement des contributions au théorème d’uniformisation à la fin du XIX? et au début du XX? siècle, l’une des principales préoccupations des géomètres complexes aujourd’hui est d’identifier les obstructions algébriques qui garantissent l’existence de métriques canoniques.

Au cours des dernières décennies, la quantification géométrique a connu un grand succès dans l’étude de telles questions, à l’interface entre l’analyse géométrique et la géométrie algébrique. Ses applications ont conduit à des avancées significatives en théorie pluripotentielle, dans l’étude des invariants asymptotiques des fibrés en droites, ainsi qu’en physique mathématique. Malgré des progrès notables tant sur le plan analytique qu’algébrique, de nombreux défis fondamentaux subsistent pour appliquer les méthodes de quantification à l’étude des métriques canoniques.

Cela tient en partie à l’importance croissante des filtrations et des dégénérescences de variétés dans la théorie des métriques canoniques, dont la nature non archimédienne complique l’application directe des techniques de quantification. Tout récemment, nous avons étendu le cadre de la quantification géométrique aux plongements généraux, ce qui a permis d’intégrer les méthodes de quantification dans l’étude des filtrations et des dégénérescences de variétés.

Ce projet vise à développer davantage cette approche afin de :

a) Introduire de nouveaux outils pour la quantification géométrique dans le contexte des filtrations et des dégénérescences de variétés.

b) Établir de nouveaux résultats à l’interface entre la théorie des filtrations sous-multiplicatives et la géométrie de Mabuchi de l’espace de toutes les métriques kählériennes.

c) Intégrer ces nouvelles techniques dans l’étude des métriques canoniques.