Stabilité robuste, contrôle et observation de systèmes non-linéaires à retards – Robusta

Les retards sont omniprésents en ingénierie, en physique et en biologie et sont connus pour leur capacité à dégrader la stabilité et la robustesse. D'un point de vue théorique, les systèmes à retards (TDS) occupent une place intermédiaire entre les équations différentielles ordinaires et les systèmes généraux de dimension infinie. Une vaste littérature leur est consacrée, en particulier dans le cas linéaire. Malgré cette intense recherche, plusieurs résultats centraux manquent encore dans la théorie de la robustesse des TDS non-linéaires. Dans ce projet, nous les développons en exploitant des avancées récentes dans le traitement des systèmes de dimension infinie en combinaison avec les résultats spécifiques aux TDS développés par les candidats.

Dans ROBUSTA, nous développons la théorie de la stabilité entrée-état (ISS), les propriétés de contraction de divers ordres et l'application des résultats au domaine des neurosciences et de la synthèse d'observateurs. L'ISS est une composante essentielle de la théorie du contrôle non-linéaire, à la fois pour l'analyse et la commande. L'utilisation effective de cette théorie requiert des caractérisations les moins restrictives possible. Cette exigence n'est, à ce jour, pas remplie pour les TDS. Ceci est particulièrement vrai dans le contexte des réseaux de grande dimension, pour lesquels les résultats actuels ne prennent pas en compte des possibles estimées des retards impliqués ou exploitent des hypothèses d'interconnection trop restrictives. Au delà de l'ISS, la théorie de la k-contraction offre des outils puissants d'analyse. Selon l'ordre k, elle permet d'établir l'unicité des points fixes, l'absence de cycles limites ou l'absence d'attracteurs chaotiques d'ordre supérieur. Dans les applications non-linéaires, de tels outils d'analyse qualitative font cruellement défaut. L'ambition de ROBUSTA est de remédier à cela en créant la théorie de la k-contraction pour les TDS.

L'intérêt applicatif des outils développés sera démontré par la construction d'observateurs pour les systèmes de dimension finie et les TDS, ainsi que par des applications en neurosciences. En particulier, le développement de la k-contraction pour les TDS pourrait être décisif dans l'atténuation sélective des oscillations cérébrales parkinsoniennes par stimulation cérébrale profonde sans compromettre les dynamiques neuronales non-pathologiques.