Solutions généralisées de Filippov pour les DAEs discontinues : Contrôle et simulations – GFdDAE

La modélisation des processus dynamiques à partir des premiers principes nécessite souvent des descriptions mathématiques impliquant à la fois des équations différentielles et algébriques, aboutissant à une représentation connue sous le nom d'équation différentielle-algébrique (EDA) ou d'équation différentielle implicite. Lorsque le processus sous-jacent présente des comportements qualitativement distincts dans différentes régions de l'espace des solutions, ces descriptions EDA peuvent être discontinues. De tels cas d'EDA discontinues peuvent émerger soit en raison de la complexité inhérente du système, soit en tant que simplification nécessaire, où les changements transitoires rapides avec des dynamiques complexes ou inconnues sont approximés par des transitions instantanées. Un exemple notable de ceci est évident dans les circuits électriques comportant des diodes idéales et des disjoncteurs.

L'objectif principal de cette proposition de recherche est d'établir un cadre mathématique complet pour l'analyse et la résolution des EDA discontinues. En particulier, le but est d'étendre le concept des solutions de Filippov, initialement développé pour les équations différentielles ordinaires discontinues, au domaine des EDA discontinues. En s'appuyant sur la théorie des EDA à commutation déclenchée par le temps, il est bien établi que les modifications soudaines des contraintes algébriques nécessitent des sauts immédiats pour rectifier les valeurs incohérentes, assurant ainsi le respect des contraintes algébriques.

Un défi crucial apparaît lorsque ces contraintes algébriques dépendent elles-mêmes de la valeur actuelle de la solution, ce qui conduit à une ambiguïté quant au point de terminaison de ces sauts. Motivé par une avancée récente dans l'interprétation des sauts au sein des EDA non linéaires lisses, réalisée grâce au concept de "chemin de saut", une voie prometteuse s'ouvre pour aborder le défi susmentionné dans les règles de saut. Cette conceptualisation innovante introduit de nouveaux phénomènes de solution, y compris les "sauts glissants" et les "flux projetés". Les propriétés mathématiques de ces concepts émergents de solution nécessitent un examen et une validation minutieux. Les résultats de ce projet promettent non seulement d'améliorer notre compréhension théorique de ces systèmes, mais aussi de permettre des simulations numériques plus précises et efficaces ainsi que la conception de systèmes de contrôle dans divers domaines scientifiques et d'ingénierie.