Equations différentielles p-adiques – pDefi

Le rôle essentiel joué par les équations différentielles linéaires en géométrie algébrique complexe et mis en évidence
à la fin du XIXe siècle a conduit à la théorie des modules à connexion puis à la théorie des D-modules holonomes sur une variété algébrique complexe.
On peut associer à de tels objets une cohomologie de de Rham, ce qui
fournit quelques invariants de la variété.
Dans la seconde partie du XXe siècle, motivés par la preuve de Dwork de la rationalité de la fonction Zêta de Weil,
des objets analogues ont été introduits pour les variétés arithmétiques : équations différentielles p-adiques et D-modules dits arithmétiques auxquels
on peut associer des groupes de cohomologie de de Rham et de cohomologie rigide.
La question de la finitude de ces groupes revient à la construction d’un formalisme des six foncteurs.
Dans certaines situations arithmétiques couvrant le cas des variétés sur un corps fini, travailler avec une structure de Frobenius permet de
prouver les résultats de finitude des groupes de cohomologie rigide ainsi qu'un formalisme des six foncteurs pour les D-modules arithmétiques
holonomes. La cohomologie rigide fournit ainsi un moyen de calculer des invariants arithmétiques classiques.

Pour les variétés analytiques p-adiques ou pour les variétés sur une base plus générale,
la question centrale de la finitude de la cohomologie de Rham ou d'un formalisme des six foncteurs est encore ouverte et loin d’être comprise.
Le but de ce projet est d'aborder ces questions générales de finitude de
la cohomologie de Rham en rassemblant des spécialistes des D-modules p-adiques,
des équations différentielles p-adiques sur les espaces analytiques p-adiques,
ainsi que des spécialistes des cohomologies p-adiques. Pour cela, nous envisageons d'étudier de nouveaux invariants
des équations différentielles p-adiques en dimension supérieure, ainsi qu'en utilisant les nouveaux outils développés par Scholze et ses collaborateurs.