Tenseurs aléatoires, probabilités libres, et intrication quantique – RTFPQuEnt

Ce projet consiste en quatre directions, centrées autour des tenseurs aléatoires invariants par conjugaison par des produits tensoriels de matrices unitaires (invariance unitaire locale), via l'étude de leurs moments, donnés par les polynômes invariants homogènes. Ceci est motivé par l'application à la caractérisation et détection de l'intrication quantique multipartie en physique quantique, où les tenseurs représentent les coordonnées d'états quantiques, et cette notion d'invariance et les polynômes associés jouent un rôle particulier. Nous adresserons les questions suivantes: 1) Développement de la théorie des probabilités libres pour les tenseurs aléatoires invariants unitaires locaux. 2) Étude systématique de l'information sur l'intrication contenue dans l'asymptotique de grande dimension des polynômes invariants unitaires locaux, et la capacités de sous-familles spécifiques à distinguer des états aux propriétés d'intrications différentes. Étude du lien entre propriétés d'intrication de différentes classes d'états et liberté tensorielle d'états aléatoires dans ces classes. 3) Les mêmes questions pour les réseaux de tenseurs aléatoires, qui procurent des modèles simplifiés et mathématiquement rigoureux pour étudier la structure d'intrication de l'intrication AdS/CFT. Ici on s'intéresse également à la géométrie asymptotique dans le réseau, qui définit l'état/tenseur aléatoire. 4) Calcul de distributions de mesures aléatoires effectuées sur différentes familles d'états quantiques, et étude de l'information sur l'état asymptotiquement contenue dans la distribution. Les différentes parties de ce projet sont intimement liées au niveau technique, se basant sur des outils venant des matrices et tenseurs aléatoires, et sur des méthodes combinatoires venant des probabilités libres, de la géométrie discrète, et de la théorie des graphes. Le point de départ pour ces quatre parties est la détermination de l'asymptotique de grande dimension des polynômes invariants.