Algèbres de Roe : entre la géométrie grossière et les algèbres d'opérateurs – ROAR

Ce projet se concentre sur la recherche dans les algèbres d'opérateurs et la géométrie grossière, deux domaines des mathématiques fondamentales. Son objectif principal est de développer de nouvelles techniques pour résoudre des problèmes importants sur les C*-algèbres de Roe. Ces algèbres d'opérateurs ont été introduites par John Roe au début des années 1990 pour analyser des notions de géométrie grossière à l'aide d'outils d'algèbre d'opérateurs.

La géométrie grossière étudie les espaces métriques de loin (deux espaces sont identiques s'ils se ressemblent à grande échelle). La géométrie grossière est à la base de la plupart de la moderne théorie géométrique des groupes. Elle a des applications dans de nombreux domaines des mathématiques, notamment la physique mathématique.

L'étude des algèbres d'opérateurs est une branche de l'analyse fonctionnelle, axée sur les opérateurs linéaires sur les espaces de Hilbert complexes. C'est l'analogue non commutatif de la topologie et de la théorie de la mesure, et elle a des liens avec pratiquement tous les autres domaines des mathématiques, tels que la dynamique, la théorie ergodique, la théorie des nombres et la physique mathématique.

Les algèbres de Roe sont des algèbres d'opérateurs associées à des espaces métriques, introduites pour aborder des problèmes de nature géométrique d'une manière algébrique. Motivée à l'origine par des questions de théorie des indices, elles ont trouvé des applications importantes dans de nombreux domaines des mathématiques, tels que la théorie géométrique des groupes et la physique mathématique.
L'objectif de ce projet est de faire des progrès significatifs autour de la question générale suivante : Quelles propriétés géométriques grossières sont encodées par les algèbres de Roe ?

Le projet est divisé en trois partie fortement liées.
- La première partie se concentre sur le problème de rigidité pour les algèbres uniformes de Roe, en demandant si un isomorphisme entre deux algèbres uniformes de Roe donne une équivalence grossière bijective entre les espaces associés.
- La deuxième partie est centré sur la couronne de Higson, une algèbre quotient naturellement construite qui encode les propriétés asymptotiques des espaces métriques d'intérêt. Nous prévoyons d'utiliser la couronne de Higson pour attaquer le problème de la dimension, une instance de la question ci-dessus se concentrant sur des différentes notions de dimension dans les algèbres d'opérateurs et la géométrie grossière.
- La troisième partie est centré sur la notion technique de 'Finite Decomposition Complexity' et des conditions à-la-moyannabilité, et par conséquent l'existence d'objets universels. Un thème ambitieux dérivé est l'application des méthodes liés à la Finite Decomposition Complexity à l'étude des groupes de Thompson.

L'équipe est dirigée par le PI Alessandro Vignati, et se compose de chercheurs jeunes (K. Krutoy, un étudiant en doctorat) et expérimentés (F. Le Maître et R. Tessera) dans les domaines des algèbres d'opérateurs et de la géométrie grossière. L'équipe sera complétée par un post-doctorant pendant trois ans.