La théorie des groupes quantiques compacts à la croisée des chemins – CroCQG

Les groupes quantiques compacts forment depuis les années 1960 un domaine très actif qui interagit avec les algèbres d'opérateurs, la théorie des représentations, les probabilités, la topologie algébrique, la géométrie non commutative et la théorie quantique de l'information. Au-delà des groupes compacts et des duaux de groupes discrets, elle englobe les déformations à la Jimbo-Drinfel'd de groupes de Lie compacts, les groupes quantiques universels de Wang, les groupes quantiques de symétries de graphes etc. Le projet ambitionne de rassembler les spécialistes français qui étudient ces objets très généraux et d'encourager l'échange d'outils techniques et de questions mathématiques. Nous avons identifié une liste de problèmes clé dans trois champs principaux. La notion de symétrie quantique relie les groupes quantiques topologiques à divers objets géométriques, analytiques ou combinatoires. Nous explorerons ce lien dans le cadre des canaux quantiques en théorie de l’information, des graphes à la fois finis et infinis et de la déformation par quantification non-formelle. En Probabilités Non Commutatives, les processus stochastiques quantiques sur les groupes quantiques ont des liens profonds avec leur structure algébrique et analytique. Nous explorerons l'existence d'analogues quantiques de la transformation RSK à l'aide de la dualité de Schur-Weyl quantique, et nous étudierons la structure des processus gaussiens et leur comportement asymptotique. En Algèbres d'Opérateurs, nous nous intéresserons à la structure des algèbres de von Neumann de groupes quantiques universels en utilisant les progrès récents reliant les actions du bord des groupes à la moyennabilité maximale. Nous explorerons également la structure des groupes quantiques d'automorphismes d'arbres localement finis en utilisant des idées provenant de la théorie géométrique des groupes.