K-théorie algébrique, traces et conjecture de Zagier – AlKtraZ

Les polylogarithmes sont des généralisations de la fonction logarithme qui apparaissant dans divers domaines des mathématiques, tels que les diagrammes de Feynman, les mesures de volumes hyperboliques et les valeurs spéciales des fonctions L. Ces différents contextes donnent lieu à de nombreuses relations entre les valeurs des polylogarithmes évaluées en des nombres algébriques. Comprendre ces relations est au cœur de la conjecture de Zagier, qui reste largement ouverte. La conjecture postule que les relations linéaires entre les polylogarithmes proviennent des relations entre les symboles de la K-théorie algébrique.

Un outil clé dans l’étude de la K-théorie est l’application de trace cyclotomique, qui relie le spectre de K-théorie au spectre TC, une structure qui peut être partiellement comprise par des méthodes algébriques. Des travaux récents suggèrent également que l’application de trace cyclotomique est liée aux q-déformations des polylogarithmes. Le projet AlKtraZ vise à explorer ces connexions, offrant de nouvelles perspectives sur la conjecture de Zagier. Le projet réunira de jeunes chercheurs travaillant à l’interface de la théorie de l’homotopie et de la théorie des nombres.