Variétés et calculs stochastiques – MaStoC

Les phénomènes physiques sont souvent soumis à des contraintes géométriques, telles que des distances et des angles fixés entre les atomes formant une molécule, ou une énergie fixée pour les systèmes hamiltoniens. Ces phénomènes sont modélisés par des équations différentielles déterministes et stochastiques sur des variétés, et sont maintenant largement employés dans diverses applications, notamment en chimie, optimisation stochastique, physique quantique et machine learning. Pour la simulation de ces systèmes, il est de la plus haute importance que la méthode numérique utilisé pour approximer l'équation différentielle préserve les contraintes géométriques. En d'autres mots, il faut que la méthode évolue sur la variété, en particulier pour l'échantillonnage de mesures sur des variétés.
Dans le contexte déterministe, les méthodes de Runge-Kutta ou les méthodes de groupes de Lie sont des exemples célèbres de méthodes numériques utilisées pour l'intégration d'équations différentielles avec un ordre élevé de précision. Il existe des intégrateurs stochastiques d'ordre élevé dans un cadre euclidien, mais les seules alternatives sur les variétés sont des variantes du schéma d'Euler, d'ordre un en précision et presque toutes extrinsèques, c'est à dire qu'elles dépendent de l'injection de la variété dans un espace euclidien de dimension bien plus élevée.
Le but du projet MaStoC (Manifolds and Stochastic Computations) est la création de nouvelles méthodes numériques polyvalentes et de précision élevée pour la résolution d'équations différentielles stochastiques sur des variétés. L'approche repose sur le développement de méthodes stochastiques de groupes de Lie, associées à des formalismes algébriques pour le calcul des conditions d'ordre, le développement d'une analyse d'erreur rigoureuse sur des variétés riemanniennes générales, ainsi que la conception de nouvelles méthodes robustes pour traiter les dynamiques stochastiques multi-échelles soumises à des contraintes.
Le projet MaStoC construira les fondations du domaine émergent de l'analyse numérique stochastique intrinsèque sur variété et fournira une collection de nouvelles méthodes efficaces qui permettront en particulier de futures collaborations interdisciplinaires.