Bonne répartition et mauvaise propriété d'approximation – GoDiBAp

L'approximation diophantienne (AD) est une branche de la théorie des nombres remontant à l’antiquité qui peut être décrite comme l’analyse quantitative de la propriété de densité des rationnels dans les réels. Aujourd’hui, cette théorie est étroitement liée à de nombreux domaines mathématiques tels que la théorie ergodique, la théorie des probabilités et la géométrie fractale.

Les interactions entre l’AD et d’autres disciplines s’expliquent par le besoin universel d’approcher des structures complexes par d’autres plus régulières. A cet égard, l’ensemble des points de mauvaise approximation (PtMA) joue un rôle central: il s’agit de vecteurs admettant de mauvaises approximations rationnelles mais jouissant de propriétés de répartition optimales.

Le projet vise à repousser les frontières de la théorie actuelle des PtMA avec une emphase particulière sur son aspect multiplicatif centré autour de la conjecture de Littlewood (CL). Il est structuré en trois grands axes :

(A) Unifier les théories additive et multiplicative des PtMA : l’objectif est de résoudre un problème fondamental posé par Bugeaud permettant de voir CL comme un problème d’interpolation avec l’ensemble classique des PtMA additifs ;

(B) Elaborer une théorie géométrique des PtMA sur les surfaces de translation : en caractérisant les PtMA par une certaine propriété d’équirépartition sur le tore, le but est d’élaborer une vaste généralisation de cette théorie sur les surfaces de translation. CL apparaît ainsi comme un cas particulier d’une famille de problèmes géométriques ;

(C) Elaborer une théorie structurelle des tableaux de nombres pour résoudre P(t)-LC : un analogue des PtMA sur les corps de fonction les lie à la CL P(t)-adique (où P(t) est un polynôme). Cette conjecture se ramène à des propriétés combinatoires satisfaites par une matrice infinie (un tableau de nombres). Le but est d’élaborer une ambitieuse théorie permettant de déduire la CL P(t)-adique des motifs apparaissant dans cette matrice.