Surfaces, Géométrie et Algorithmes – SUGAR

Les surfaces sont dotées d'une grande ubiquité : leur géométrie apparaît de façon essentielle dans tout le spectre des mathématiques, des plus fondamentales, par exemple dans la théorie des surfaces de Riemann, la géométrie de Teichmüller et la dynamique, jusqu'à des domaines plus appliqués comme l'étude des graphes plongés et la géométrie algorithmique. En conséquence, au cours des dernières décennies, des communautés mathématiques distinctes ont travaillé sur des problèmes très similaires avec peu d'interactions, manquant ainsi des opportunités de collaborations inter-disciplinaires. L'objectif du projet SUGAR (Surfaces, Géométrie et Algorithmes) est de combler cette lacune en regroupant l'expertise de chercheurs en géométrie, combinatoire et algorithmique pour faire des progrès sur des questions essentielles à l'intersection de ces domaines.

Le thème central de notre programme de recherche est l'étude de la géométrie des surfaces. En fonction de la perspective, cette géométrie peut prendre diverse formes continues, par exemple la géométrie hyperbolique en topologie géométrique, la géométrie riemanienne en analyse géométrique ou les surfaces de translation en dynamique. Par ailleurs, des approches plus récentes issues de la théorie des graphes et de la géométrie algorithmique ont mené à l'étude de versions discrètes de ces géométries. Cette transition entre les modèles discrets et continus introduit des questions intéressantes autour des courbes, des triangulations de surfaces et des nombres de croisements de graphes. De plus, le point de vue algorithmique permet d'approcher des concepts classiques sous des angles nouveaux, et nous prévoyons de développer des algorithmes efficaces pour calculer des objets géométriques sur les surfaces combinatoires comme le spectre des longueurs ou bien des plus courtes courbes avec des propriétés topologiques spécifiques.

Les géométries continues se prêtent également à des questions computationelles. Les métriques polyédrales sur les surfaces, obtenues en recollant des polygones euclidiens, forment un modèle hybride entre le discret et le continu qui est d'apparence simple mais recèle de nombreuses difficultés que nous allons explorer : par exemple il n'y a pour l'instant pas d'algorithme efficace connu pour calculer des plus courts chemins entre deux points sur une telle métrique polyédrale. Ces surfaces fournissent également un cadre riche pour étudier les plongements isométriques, formant un pendant discret des fameux plongements du tore plat avec des fractales lisses.

Enfin, les espaces de modules de surfaces sont souvent analysés via des objets discrets tels que les graphes de flips ou bien les complexes de courbes et de pantalons. Ceux-ci constituent un autre riche lieu d'interactions entre le discret et le continu : nous prévoyons de faire progresser la combinatoire des graphes de flips et leurs variantes, et de développer de nouveaux algorithmes pour le calcul efficace de géodésiques sur ces graphes. L'étude d'espaces de modules et de groupes d'homéomorphismes mène également à des questions sur la dynamique et les 3-variétés, que nous étudierons d'un point de vue combinatoire.

Ce projet est le successeur spirituel du projet ANR SoS (Structures on Surfaces) qui a permis de développer des approches interdisciplinaires dans l'étude des surfaces hyperboliques et des triangulations de Delaunay en initiant des collaborations entre des chercheurs en topologie géométrique et en géométrie algorithmique. Le consortium a été largement renouvelé pour amener de nouvelles perspectives et questions, et nous sommes optimistes que ce projet aura un impact à long terme en établissant des ponts durables entre nos différentes communautés.