Variétés de caractères et espaces de Berkovich globaux – CharGloBes

D'une part, une grande partie de ce projet est dans l'intersection de deux domaines : la géométrie analytique non archimédienne et la théorie des représentations des groupes de type fini. Plus précisément, l'un des objectifs principaux est d'entreprendre les premières étapes dans l'étude des variétés de représentations sur les espaces analytiques de Berkovich sur Z. Parmi les facteurs qui motivent cette approche est un schéma bien établi : les objets dans le cadre non archimédien ont tendance à se comporter de manière plus simple par rapport à leurs homologues complexes ou réels ; de plus, plusieurs méthodes ont été développées pour « approximer » ces derniers par les premiers, afin de découvrir de nouvelles propriétés. En utilisant les espaces de Berkovich, il est possible de réaliser une étude uniforme des espaces de représentations sur tous les corps valués complets. Il existe une manière naturelle et topologique d'interpréter cet argument d'approximation (qui rappelle certaines constructions classiques dans la théorie des compactifications des représentations). Avant d'étudier les espaces de représentations en famille, une première étape nécessaire consiste à les comprendre dans le cadre non archimédien.

D'autre part, un autre point d'intérêt de ce projet sont les applications des espaces de Berkovich à des questions d'arithmétique, notamment celles liées à l'existence de points rationnels sur des variétés (via les principes locaux-globaux). Cela pourrait en l’occurrence fournir des informations sur des invariants de corps associés (tels que l'u-invariant). Plusieurs résultats ont été obtenus dans un cadre uni dimensionnel dans la thèse de la coordinatrice scientifique. Grâce à une collaboration en cours, nous nous attendons à ce que les principes locaux-globaux puissent être généralisés à des dimensions supérieures, en commençant par le cas, typiquement mieux compris, des formes quadratiques, et à que cela aboutira à des résultants sur l'u-invariant.