Lieu de Hodge : de Diophantus à Riemann – HoLoDiRibey

Je propose d'étudier le lieu de Hodge de la variation des structures de Hodge (VHS) et d'explorer ses incarnations dans divers domaines des mathématiques. Le lieu de Hodge est un objet central en géométrie algébrique et arithmétique introduit au siècle dernier et récemment relié à la philosophie de Zilber-Pink concernant les intersections typiques et atypiques. Je prévois d'apporter une compréhension nouvelle et plus profonde de cet objet : seule l'application d'un point de vue émergent sur la transcendance fonctionnelle permet de réaliser tout le potentiel de la dichotomie de Zilber-Pink. Cette étape fera appel à des techniques de géométrie algébro-différentielle plutôt qu'à l'o-minimalité. Cette généralisation non triviale, mais naturelle, est cruciale pour diverses conséquences inattendues et concrètes. En particulier, elle exploite le torseur des périodes et le fibré de Hodge associés à la VHS, plutôt que son domaine des périodes associé. Un cas d'étude récurrent sera la famille universelle des hypersurfaces lisses de degré \(d\). Les trois principales applications sont les suivantes : (1) Plus particulièrement, je prévois d'appliquer ces résultats pour réinterpréter certaines sous-variétés spéciales de l'espace des modules des différentielles abéliennes et initier un programme visant à remplacer les outils dynamiques par la transcendance fonctionnelle dans le fibré feuilleté approprié. (2) Étudier les représentations des réseaux hyperboliques complexes (à la fois arithmétiques et non arithmétiques) et découvrir de nouveaux problèmes de rigidité. (3) Examiner la relation entre la transcendance fonctionnelle p-adique et les résultats diophantiens sur les points entiers des sous-variétés des variétés abéliennes et des espaces de modules. La principale nouveauté réside dans le fait que le point de vue proposé vise à unifier des problèmes apparemment sans rapport et à explorer un lien émergent entre les sujets mentionnés précédemment et la géométrie hyperbolique. Le succès de cette proposition ERC sera crucial pour atteindre cet objectif, car plusieurs aspects importants pourront être étudiés par des post-doctorants et des doctorants issus de différentes disciplines.