Équirépartition en ThéorIe dEs NombrEs – ÉTIENE

L'équirépartition en théorie des nombres désigne l'étude de familles
d'objets arithmétiques qui, bien qu'ils aient individuellement un
comportement imprévisible, ont un comportement statistiquement
régulier.

L'existence et l'importance de tels résultats est une caractéristique
de la théorie des nombres au XXième siècle, et a pris une place de
premier plan ces dernières années, comme le montre l'influence
considérable d'énoncés tels que la conjecture d'Ergodicité Quantique
Unique de Rudnick et Sarnak.

Deux aspects de l'équirépartition en particulier apparaissent très
fréquemment, non seulement pour leur intérêt intrinsèque, mais aussi en
raison de leurs applications inattendues: il s'agit de
l'équirépartition de transformations définies par l'action des
automorphismes de Frobenius sur des objets arithmétiques (depuis le
théorème de Chebotarev, en allant jusqu'au théorème d'Équirépartition de
Deligne), et l'équirépartition d'orbites de systèmes dynamiques
d'origine arithmétique, depuis les travaux de Weyl sur
l'équirépartition modulo un, avec la résolution par Margulis de la
conjecture d'Oppenheim, ou les travaux fondamentaux de Ratner sur les
flots unipotents.

Ce projet entend étudier une grande variété de résultats
d'équirépartition et leurs applications arithmétiques, impliquant non
seulement ces deux thèmes principaux mais aussi d'autres domaines,
comme les marches aléatoires sur les groupes de Lie. Bien que
d'apparences différentes, il est maintenant incontestable que ces
problèmes ont des traits en commun, en particulier des phénomènes de type
"trou spectral".

Ce projet est par conséquent fortement interdisciplinaire, et les
méthodes de plusieurs domaines des mathématiques y joueront un rôle,
dont l'analyse harmonique, la théorie analytique des formes automorphes
et des fonctions L, les fonctions multiplicatives et les méthodes de
crible, l'approximation diophantienne sur les variétés, les marches
aléatoires, la combinatoire additive, la théorie ergodique et la
dynamique homogène, et les fonctions traces sur les corps finis. Les
candidat·es sont tout·es expert·es de l'un ou l'autre de ces domaines.

Le but du projet est d'étudier et résoudre des problèmes arithmétiques
importants liés à l'équirépartition: non seulement des problèmes
d'équirépartition en tant que tel (par exemple, la répartition de cycles sur
des espaces arithmétiques homogènes), mais aussi des problèmes dont la
résolution fait intervenir l'équirépartition, bien qu'ils en
paraissent éloignés à première vue (par exemple, dans l'analyse des formes
automorphes). L'étendue de l'expertise de l'équipe conduira également à
des applications nouvelles et inattendues de l'équirépartition.

La Conjecture de Mélange, concernant l'équirépartition de paires de
points de Heegner, proposée en 2006 par Michel et Venkatesh, illustre
parfaitement nos objectifs. Cette conjecture est maintenant regardée
comme un énoncé fondamental, tout comme l'a été la Conjecture
d'Ergodicité Quantique Unique de Rudnick et Sarnak au tournant du
siècle dernier; elle promet d'avoir une influence profonde sur le
développement de l'arithmétique, comme le montre de manière
spectaculaire un exposé récent où Wiles indique qu'une version de
cette conjecture fournit une nouvelle approche aux théorèmes de
modularité en géométrie arithmétique.

Un autre objectif important de ce projet sera de prouver des théorèmes
de régularité sur les mesures de Furstenberg à l'infini pour les
marches aléatoires sur les groupes de Lie, et d'en explorer les
conséquences arithmétiques.

Nous espérons que ces objectifs contribueront à des avancées
significatives dans plusieurs domaines, et fourniront de nouveaux
outils à la communauté mathématique en général. Parmi ceux-ci, il y
aura des résultats de rigidité de mesure en dynamique, la régularité de
marches aléatoires, les sommes d'exponentielles sur les corps finis,
des progrès sur la théorie des fonctions multiplicatives, et la
répartition des valeurs de fonctions L.