La philosophie d'Ax-Kochen/Ershov: de la géométrie arithmétique à la théorie de la classification – AKE PACT

Notre objectif principal est de développer de nouvelles méthodes en théorie des modèles des corps valués henséliens pour résoudre des questions en théorie de la classification et en géométrie arithmétique. La philosophie directrice qui relie ces applications est le rôle crucial joué par les théorèmes de type Ax – Kochen – Ershov. Nous prévoyons de mélanger des outils du côté algébrique, y compris de la théorie de Galois et des corps topologiques, ainsi que des ingrédients de la théorie des modèles tels que les lemmes de plongement et l'étude des corps valués via des méthodes non-standard.

Nous avons deux objectifs principaux dans chacun des domaines de la théorie de la classification et de la géométrie arithmétique, mais il existe de nombreuses possibilités d'élargir la recherche au fil du temps. Dans nos travaux sur la théorie de la classification, la motivation principale est la conjecture de Shelah qui prédit que tout corps NIP infini est soit séparablement clos, soit réel clos, soit il admet une valuation hensélienne et non-triviale. Des cas de dimension finie de cette conjecture a été démontrée dans une série d’articles spectaculaires de Johnson en 2020 dans lesquels il présentait une multitude de outils. En combinant cela avec nos nouvelles approches, nous visons à prouver la conjecture d'hensélianité en caractéristique 0 et à développer une caractérisation des corps inp-minimaux. Du côté de la géométrie arithmétique, nous prévoyons d'axiomatiser les théories (existentielles) des corps henseliens de caractéristiques positives, poussant les limites de la connaissance des corps parfaits et imparfaits. De plus, nous prouverons une version relative du 10ème problème de Hilbert dans les corps henseliens à caractéristiques mixtes. Dans un cinquième objectif, nous visons à élargir notre expertise et à appliquer notre récente généralisation du célèbre théorème d'Ax-Kochen/Ershov pour inclure les corps résiduels imparfaits dans la théorie de l'intégration motivique pour des corps valués complets et discrets dans des caractéristiques mixtes.