Dérivation et analyse de modèles effectifs pour les suspensions – Suspensions

Les suspensions de particules désignent un grand nombre de particules dispersées dans un fluide liquide ou gazeux. De tels mélanges sont omniprésents tant à l'état naturel, par exemple sous forme de poussière, de boue ou de sang, que dans l'industrie, comme dans l'alimentation, les peintures, les centrifugeuses, et en sciences environnementales et médicales. Les suspensions sont le lieu de phénomènes complexes que nous cherchons à comprendre en vue de décrire et prédire leur comportement, comme la sédimentation de particules, l'augmentation de la viscosité du fluide ambiant, des forces de traînée collectives ou un comportement viscoélastique. L'impact à l'échelle macroscopique de ces effets ainsi que leur prépondérance dépendent fortement des propriétés des particules comme leur nombre, taille et forme.
L'analyse mathématique est incontournable pour comprendre les phénomènes de suspension, qui sont difficiles à étudier expérimentalement ou par des simulations numériques. Cela est dû au grand nombre de particules et à la diversité des échelles de temps et d'espace inhérentes au problème. Au niveau microscopique, il est possible de modéliser ces suspensions en termes d'équations individuelles pour les trajectoires des particules, couplées à une équation pour le fluide : les particules sont influencées par le fluide, et le fluide est également perturbé par celles-ci. Elles interagissent ainsi entre elles par le biais du fluide d'une manière complexe. En pratique, il est plutôt souhaitable d'étudier des quantités macroscopiques ou mésoscopiques, effectives, telles que la densité moyenne des particules ou la vitesse du fluide.
L'objectif est par conséquent l'établissement mathématiquement rigoureux d'équations effectives à partir de systèmes microscopiques sous-jacents, ainsi que leur analyse. Cela passe par trois étapes progressives. La première est la dérivation de propriétés effectives du fluide sous l'hypothèse artificielle que les positions des particules sont figées. Deuxièmement, nous visons à intégrer la dynamique des particules dans le modèle afin d'établir des systèmes couplés. Enfin, troisièmement, nous étudions les propriétés des modèles effectifs obtenus, comme par exemple l'existence, l'unicité ainsi que certaines propriétés qualitatives.
Les interactions dans les suspensions sont très complexes : elles sont de longue portée, singulières et implicites. Le problème présente donc des défis mathématiques très intéressants. Ces dernières années ont connu de nombreux développements importants dans ce domaine. Notre but est d'en poursuivre l'étude par la combinaison et l'approfondissement de techniques issues de l'analyse mathématique de la mécanique des fluides, de l'homogénéisation, de l'analyse en champ moyen et de la théorie cinétique. Ce projet rassemble des experts français et allemands dans le but d'accélérer ces avancées afin de justifier rigoureusement des modèles existants mais aussi de révéler plusieurs phénomènes nouveaux.