Calcul numérique certifié pour des courbes algébriques singulières – CNACS

Les courbes algébriques réelles et complexes interviennent dans de nombreuses applications en mathématiques, physique et ingénierie : preuve automatique en géométrie, conception assistée par ordinateur, plannification de mouvement en robotique, équations d'ondes non linéaires, etc. Leur manipulation algorithmique est un sujet central en géométrie algébrique effective.
Une attention particulière doit être portée aux points singuliers de la courbe car les algorithmes conçus pour les courbes régulières peuvent présenter un comportement erratique (division par zéro, instabilité numérique, etc.). Cependant, le traitement purement symbolique des singularités grâce à l'algorithme de Newton-Puiseux n'est souvent pas possible en raison de son coût trop élevé dans beaucoup d'applications.

Le projet CNACS vise la conception d'algorithmes symboliques-numériques pour les courbes algébriques singulières à la fois efficaces et fiables grâce aux techniques du calcul numérique validé. La clé de voûte sera un algorithme de Newton-Puiseux symbolique-numérique pour "déplier" les singularités et paramétrer les branches à l'aide de séries de Puiseux à coefficients intervalles (réels ou complexes). Nous l'utiliserons ensuite comme brique de base pour améliorer la complexité d'algorithmes en géométrie algébrique effective, comme les requêtes de connexité et la topologie de courbes réelles, ou le calcul de la monodromie de courbes algébriques complexes vues comme surfaces de Riemann.

Les résultats attendus sont les suivants :
- Des algorithmes soigneusement étudiés du point de vue de leur complexité (binaire) et de la stabilité numérique.
- Des implémentations open-source soignées, efficaces et fiables, écrites en Julia, ainsi qu'une formalisation dans l'assistant de preuve formelle Coq.
- Des applications à des problèmes où interviennent des courbes algébriques singulières comme la plannification de mouvement en robotique ou les équations KdV et KP en physique des ondes non linéaires.