Grands objects combinatoires avec contraintes, ou au-delà de l'uniformité – LOUCCOUM

Les probabilités discrètes, qui consistent à étudier des structures combinatoires aléatoires telles que arbres, graphes, mots, permutations, sont un domaine dynamique avec des motivations et des applications dans divers domaines : l'informatique (algorithmes, complexité, théorie des langages,...), la biologie (réseaux d'interaction, modèles évolutifs,...), la physique (systèmes complexes, systèmes de particules en interaction,...).

Dans tous ces contextes, le hasard est souvent utilisé pour modéliser des propriétés inconnues du problème. Souvent, les problèmes peuvent être formulés de la manière suivante : étant donné un objet combinatoire, quelles sont les propriétés typiques d'un tel objet aléatoire parmi ceux de taille n ? Cela soulève cependant la question du choix de la distribution de probabilité.

La mesure uniforme sur les objets d'une taille donnée est souvent utilisée comme un choix canonique et mathématiquement soluble. Des modèles non uniformes ont bien sûr été étudiés dans la littérature, mais certaines questions importantes, tant du point de vue théorique qu'applicatif, n'ont toujours pas été explorées. Dans cet esprit, ce projet vise à approfondir l'étude des modèles non uniformes, en particulier autour des permutations et d'objets connexes (arbres, graphes). Les régimes non-uniformes considérés ici sont de divers types :
• distributions biaisées par rapport à un paramètre combinatoire ;
• conditionnements multiples
• structures combinatoires contraintes à éviter des motifs ;
• objets combinatoires avec une structure sous-jacente géométrique particulière.