Identifications de paramètres pour la diffusion anormale – IdiAnoDiff

Au cours des dernières décennies, différents processus de diffusion anormale, dans lesquels le déplacement quadratique moyen ne croît pas linéairement en temps, ont été observés dans une grande variété d'applications pratiques. Mathématiquement, ces processus physiques sont décrits par des équations aux dérivées partielles (EDPs) fractionnaires en temps, incluant des dérivées en temps non locales. Dans ces modèles mathématiques, se trouvent différents paramètres physiques primordiaux comme le coefficient de diffusion, la source et l'ordre, qui ne peuvent être mesurés directement et nécessitent des estimations à partir d'observations indirectes des solutions de ces EDPs. Ce problème mène à une grande variété de problèmes d'identification et d'estimation de paramètres de ces modèles mathématiques. Du fait de leur grande pertinence au niveau pratique, ces problèmes constituent un des domaines de recherche les plus actifs des mathématiques.

L'étude de cette classe de problèmes constitue un grand défi tant au niveau mathématique que numérique du fait de leur caractère mal posé à la fois en terme d'existence, d'unicité, de continuité par rapport aux données du problème, ainsi que l'inévitable présence de bruit dans les données d'observation. Du fait de la grande complexité des modèles mathématiques pertinents, beaucoup de questions de la théorie mathématique et de la simulation numérique restent ouvertes à ce jour. Cela justifie la nécessité impérieuse d'étudier ces problèmes mathématiques et numériques, en particulier la question de la détermination unique et stable ainsi que la création d’algorithmes de reconstruction robustes et opérationnels. Ces problèmes sont tout particulièrement difficiles pour les modèles de diffusion généralisée, pour lesquels la théorie des solutions reste peu développée. En effet, le caractère non locale des dérivées généralisées et la présence de termes non-linéaires rendent beaucoup d'outils fondamentaux, comme la règle de la chaîne, la transformation de Laplace et l'intégration par parties, inapplicables, et les propriétés régularisantes limitées des solutions empêchent un développement direct des approximations numériques.

Ce projet se décompose en cinq tâches: la détermination de sources singulières, la détermination d'un terme non-linéaire, les modèles avec ordre variable, les estimations de stabilité et des outils d'inversion pratique. Toutes ces tâches auront pour but de résoudre différents problèmes difficiles associés à l'identification de paramètres de diffusion anormale à la fois au niveau mathématique et numérique, avec une synergie entre les domaines d'expertise des équipes française et de Hong Kong. Les résultats de ces recherches permettront une meilleur compréhension analytique et numérique des processus de diffusion anormale.