Hamiltoniens dépendants de la géométrie – GeoDHa

Cette proposition s'inscrit dans le cadre de la théorie spectrale et les problématiques abordées sont issues de la physique mathématique, en particulier de la mécanique quantique. Notre objectif est d'établir une relation entre la géométrie d'un système quantique donné et le spectre de l'hamiltonien sous-jacent qui régit sa dynamique.

Cette proposition traite de l'opérateur de Dirac, défini dans un domaine de l'espace euclidien avec des conditions au bord dites de masse infinie. Cet opérateur joue un rôle crucial dans un modèle phénoménologique pour le confinement des quarks au sein des hadrons et sert d'opérateur effectif pour décrire le comportement des électrons dans des systèmes avec des symétries en nid d'abeille. La proposition actuelle se décline en trois axes de recherche :

* Le spectre de Dirac dans les régimes asymptotiques : Nous étendrons des travaux précédents sur le confinement quantique dans le régime de grande masse à des domaines polygonaux et examinerons l'influence des coins. Nous étudierons également le régime des domaines minces pour établir un lien entre la géométrie et le spectre de Dirac.
* Optimisation de forme : L'inégalité de Faber-Krahn énonce que parmi tous les domaines bornés avec un volume fixe, la première valeur propre de Dirichlet est minimisée par une boule de même volume. C'est cette question que nous souhaitons aborder pour l'opérateur de Dirac, motivés par un modèle pour l'énergie d'un sac de hadrons (i.e., le noyau d'un atome) introduit sous la forme d'un problème d'optimisation de forme et qui suppose implicitement que cette énergie minimale est atteinte pour des sphères.
* Le rôle des symétries : L'opérateur de Dirac apparaît dans les systèmes avec des symétries en nid d'abeille en raison de la structure conique de la dégénérescence entre les niveaux d'énergie. En étudiant le spectre de Dirichlet des triangles nous prévoyons de démontrer que de telles dégénérescences peuvent se produire indépendamment des symétries.