Contrôle de fluides non linéaires – CORALS

L'objectif principal de ce projet est de développer de nouvelles méthodes pour étudier la contrôlabilité de certains systèmes issus de la mécanique des fluides et modélisés par des équations aux dérivées partielles (EDP) non linéaires.

Dans ce contexte, la contrôlabilité désigne la possibilité de modifier l'état du fluide par le choix de conditions aux bords et/ou de termes sources dépendant du temps (les contrôles). Un problème ouvert majeur est celui de la contrôlabilité globale à zéro en temps petit de l'équation de Navier-Stokes avec conditions aux bords de Dirichlet, posé par Jacques-Louis Lions il y a 35 ans. Une difficulté centrale pour établir ce type de résultat est la possibilité de l'apparition de couches limites dont le comportement mathématique peut être très mauvais, au voisinage des parois non contrôlées.

Pour susciter le développement de nouvelles méthodes adaptées à l'étude de la contrôlabilité de systèmes fluides non linéaires, nous proposons une démarche reposant sur l'étude d'une multitude de modèles réduits, exhibant chacun une facette des difficultés attendues, dans un cadre favorable. En particulier, les modèles que nous envisageons d'étudier sont le plus souvent scalaires, dans des géométries simples. La plupart d'entre eux partagent une anisotropie entre la variable tangentielle et la variable normale, qui traduit la difficulté liée aux couches limites.

Nous avons identifié 6 situations modèles, pour lesquelles les méthodes actuelles ne permettent pas de conclure, et qui nous semblent permettre des progrès importants, à la fois pour des questions de contrôle global (donnée initiale et contrôle grands) et de contrôle local (donnée initiale et contrôle petits).