Numérique pour Helmholtz et bases microlocales – NuHeMiBa

Ce projet développera des méthodes numériques innovantes pour résoudre l'équation de Helmholtz, qui permettent, dans le régime des hautes fréquences, une réduction importante de la dimension du problème discret résultant par rapport aux méthodes des éléments finis habituelles. Contrairement aux approches alternatives telles que les méthodes des éléments limites ou les méthodes de type Trefftz, l'approche proposée sera parfaitement valable pour les coefficients variables.

L'idée sous-jacente, inspirée de l'analyse microlocale, est de tirer pleinement parti des propriétés de microlocalisation de la solution dans l'espace des phases, c'est-à-dire la localisation à la fois en position et dans l'espace de Fourier. En effet, dans de nombreux problèmes pratiques (comme la diffusion d’ondes planes), la solution de l’équation de Helmholtz est microlocalisée à proximité d’une hypersurface. Nous tirerons parti de cette propriété en construisant des espaces de discrétisation engendrés par un nombre fini de fonctions microlocalisées à proximité de cette hypersurface.

Bien que j'ai obtenu des résultats préliminaires dans un cadre idéalisé (en considérant l'équation de Helmholtz dans l'espace euclidien avec des coefficients lisses), de nombreux défis doivent être relevés pour rendre cette méthode applicable à des problèmes réels. De tels défis, qui seront relevés dans ce projet, incluent la présence d'interfaces et de coefficients discontinus, la preuve de la convergence de schémas numériques comme le problème de Galerkin, la compréhension du conditionnement du système discret résultant et sa résolution à l'aide de méthodes itératives telles que GMRES.