Plongements, Actions de Groupes, et Ergodicité. – PLAGE

L'objectif de ce projet est de rassembler des chercheurs de premier plan travaillant dans des domaines liés à la théorie géométrique des groupes, la théorie mesurée des groupes, les probabilités et la dynamique. Les thèmes plus précis que nous proposons sont à la fois très actifs depuis de nombreuses années, et sujets à une évolution rapide et foisonnante. En stimulant de nouvelles interactions, notre projet doit catalyser cette évolution et mener à des découvertes majeures et de nouvelles perspectives. 

Thème 1: Actions sur des espaces métriques -- points fixes versus propreté. Les intéractions entre un groupe et les espaces sur lesquels il agit sont au cœur de la géométrie des groupes. Concernant les actions isométriques, cette étude s'organise autour de deux pôles opposés: les actions propres et celles admettant un point fixe. La propriété de point fixe la plus célèbre, aux innombrables applications, est certainement la propriété (T) de Kazhdan. Celle-ci peut se formuler comme suit: toute action par isométries affines sur un espace de Hilbert admet un point fixe. À l'opposé, la propriété de Haagerup (existence d'une action isométrique propre sur un Hilbert) a fait l'objet d'une attention soutenue, en particulier du fait de son application à la conjecture de Baum-Connes.  Ces propriétés peuvent soit être étendues à des espaces de Banach plus généraux, soit être spécialisées, par exemple aux actions sur des espaces cubiques CAT(0) (celles-ci étant canoniquement associées à des actions sur des Hilbert). Les relations entre ces variantes ont été l'objet de nombreux travaux. Malgré plusieurs résultats phares, beaucoup de questions essentielles restent ouvertes.


Thème 2: Dynamique topologique et mesurée des actions de groupes
Ces dernières décennies ont vu foisonner les travaux généralisant la théorie ergodique d'une seule transformation à des actions de groupes, le plus souvent dénombrables. Bien que cela puisse sembler surprenant à première vue, l'action par conjugaison d'un groupe G sur l'espace de ses sous-groupes Sub(G) joue un rôle crucial en dynamique. Cela apparaît à travers l'émergence de deux notions parallèles: celle de sous-groupe aléatoire invariant (IRS), désignant une probabilité invariante sur Sub(G), et celle de sous-groupe uniformément récurrent (URS), désignant un fermé invariant minimal de l'espace compact Sub(G). Leur étude constitue deux importants objectifs liés à ce thème. Un troisième est l'étude des marches aléatoires sur les groupes. Bien que nettement plus ancien, ce thème a connu des progrès récents spectaculaires, et appelle à des développements que ce projet compte mener.

Thème 3: géométrie grossière des groupes. 
Une branche centrale de la géométrie des groupes est l'étude des groupes de type fini à quasi-isométrie près. Nous planifions de contribuer au problème de classification, notamment pour les groupes résolubles, lequel demeure dans ce cadre largement ouvert. Mais notre but est aussi d'étendre l'étude des propriétés de géométrie grossière des groupes dans d'autres directions plus novatrices. Une variante naturelle de la question de savoir si deux groupes sont quasi-isométriques, est de savoir si l'un peut se "plonger" dans l'autre. Les plongements qui ont été le plus étudiés jusqu'à présent sont les plongement quasi-isométriques. Par exemple il est bien connu qu'un groupe moyennable qui se plonge quasi-isométriquement dans un groupe hyperbolique doit être virtuellement cyclique. En revanche, la notion plus flexible de plongement grossier reste plus mystérieuse à ce jour. Cette notion est pourtant plus naturelle à bien des égards: par exemple, un morphisme injectif est un plongement grossier, qui n'est pas quasi-isométrique en général. Dans une direction différente, nous envisageons de travailler sur une notion relativement récente et en pleine expansion: l'équivalence mesurée "quantitative", laquelle réside à l'intersection des théories géométriques et mesurées des groupes.