Analyse Spectrale de Matériaux de Dirac – SpecDiMa

En physique de la matière condensée, les équations de Dirac régissent le comportement de nouveaux matériaux aux propriétés remarquables. C'est le cas du graphène (matériau en nid d'abeille périodique) ou des isolants topologiques (matériau isolant dans la masse mais conducteur sur le bord). Un objectif important de ces modèles est de révéler des « états de bord » qui se propagent soit le long du bord du domaine, soit à une interface créée par une masse variable ou un potentiel électrique/magnétique. De tels phénomènes comparables à l'effet Hall quantique ont été intensivement étudiés pour les opérateurs de Schrödinger magnétiques mais plus récemment considérés pour les opérateurs de Dirac. Ces derniers présentent des difficultés spécifiques et des comportements différents : opérateur matriciel, spectre non semi-bornés, conditions aux limites délicates... Notre équipe, composée de spécialistes reconnus en analyse des EDP, physique mathématique et analyse spectrale (asymptotique spectrale, théorie de la diffusion, théorie des résonances, analyse semi-classique, analyse microlocale etc.), vise à contribuer à la description mathématique des nouveaux phénomènes associés à certains de ces systèmes de type Dirac et à explorer les questions mathématiques soulevées. On peut distinguer trois thématiques correspondant aux trois étapes importantes des études prévues :
1) Fonctions de bande des opérateurs fibrés : Opérateurs périodiques à fonctions de bande conique et opérateurs invariants dans une direction ("guide d'onde" de Dirac). Description de leurs fonctions de bande (ou courbes de dispersion) ainsi que des vecteurs propres associés.
2) États de bord : Pour certains opérateurs de référence sans perturbation, étude des états de bord et de leurs localisations. Développer une interprétation plus générale des états de bord en termes de propagation d'états cohérents et de mesures de Wigner pour les interfaces courbées.
3) Influence et interaction de perturbations/impuretés : effet des perturbations (potentiel électromagnétique, obstacle) sur les opérateurs idéaux, étude des valeurs propres, résonances, matrice de diffusion et fonction de décalage spectral. De plus, étude de la stabilité des courants de bord.