Nouvelles Structures Lagrangiennes issues de Théorie des Cordes – NeLaSt2

Le but de ce projet est de définir et étudier de nouveaux objets lagrangiens, dans le cadre de la géométrie symplectique dérivée, et d'en déduire des résultats en théorie des représentations traditionnelle ou en théorie des cordes via les théories topologiques des champs. Nous avons divisé ce projet en deux axes qui peuvent être traités indépendamment, mais qui sont motivés par des questions communes issues de la physique. Le premier axe comporte plusieurs tâches particulièrement adaptées à un postdoctorant, tandis que le second sera réalisé en étroite collaboration avec Damien Calaque et Julien Grivaux.

La géométrie symplectique est un cadre naturel pour traiter la mécanique classique hamiltonienne, la plupart des espaces de phase étant symplectiques.
Le fibré cotangent d'une variété en est un exemple et en fait, les variétés symplectiques n'ont pas d'invariants locaux : un théorème de Darboux dit que toute variété symplectique est localement un cotangent.
Les sous-variétés lagrangiennes jouent un rôle crucial en géométrie symplectique. En généralisant le théorème de Darboux, Weinstein a prouvé que dans le voisinage d'une sous-variété lagrangienne L, toute variété symplectique est un voisinage de la section nulle de T*L. Ainsi, les sous-variétés lagrangiennes peuvent naturellement être interprétées comme des configurations généralisées d'un système de mécanique classique. Ces sous-variétés apparaissent partout : graphes de 1-formes fermées, graphe du flux à t=1 d'un champ de vecteurs hamiltonien, faisceaux conormaux, lieu des zéros d'une application moment, etc. La nécessité de traiter les espaces singuliers devient évidente, ce qui est le but de la géométrie dérivée.
Son leitmotiv est de remplacer les perturbations géométriques par des perturbations homologiques afin de calculer les produits fibrés.
Ces perturbations peuvent être rendues fonctorielles (dans un sens catégorique supérieur), et ont un sens dans le contexte algébro-géométrique, résolvant les comportements pathologiques de nombreux espaces de modules apparaissant en physique classique (espaces de solutions d'équations de mouvement - par opposition à la physique quantique).

Le premier axe de ce projet consiste en l'étude de nouvelles algèbres de Hall cohomologiques (COHAs) construites sur des sous-variétés lagrangiennes définies dans le cadre de la géométrie dérivée par Bozec, Calaque et Scherotzke. Ces algèbres de Hall constituent la quintessence de la théorie géométrique des représentations, qui consiste en l'étude des groupes quantiques par des moyens géométriques. Ils ont conduit à la définition de structures algébriques sur les groupes de cohomologie des sous-variétés lagrangiennes, ce qui a permis de récemment résoudre des conjectures cruciales.

Le deuxième axe vise à résoudre une conjecture de Moore et Tachikawa concernant les théories topologiques des champs (TFTs). La TFT visée est un foncteur de la catégorie des cobordismes orientés X de dimension 2 vers une catégorie de variétés symplectiques holomorphes hamiltoniennes. En physique, les théories des champs classiques associent généralement à une variété un espace des champs (fields), où la notion précise d'espace requise est celle de champ (stack!) dérivé. Dans de nombreux exemples l'espace des champs est Map(X,T) pour une cible fixe T, doté d'une structure symplectique qui joue un rôle important dans la quantification de la théorie classique. Ceci implique la construction dite AKSZ qui a été obtenue dans le cadre dérivé, où les constructions requièrent peu d'hypothèses.