Orbifolds, courbure scalaire et rigidité – OrbiScaR

Dans ce projet nous nous intéressons à l’étude de la courbure scalaire positive en présence de singularités coniques, isolées ou non. Dans le cadre lisse des variétés riemanniennes, l'existence d'une métrique à courbure scalaire positive a des conséquences topologiques fortes. Néanmoins, comme Gromov l’a observé, nous n’avons pas une bonne compréhension de ce que serait une borne inférieure généralisée sur la courbure scalaire dans un espace singulier, y compris dans le cas de singularités coniques. Alors que la plupart des travaux récents dans ce domaine concernent le cadre lisse, notre ambition consiste à réunir des experts internationaux en espaces singuliers, en analyse géométrique et en topologie pour apporter des progrès significatifs dans la compréhension des orbifolds admettant une métrique à courbure scalaire positive. Nos objectifs principaux sont la classification des orbifolds compacts orientés de dimension 3 et la désingularisation des orbifolds à singularités isolées en dimension supérieure ou égale à 4, des problèmes naturels et ouverts dans ce domaine. À cette fin, nous allons développer dans le cadre singulier des outils qui ont récemment démontré leur efficacité pour les variétés, comme la théorie du potentiel, les surfaces minimales et les flots géométriques. Des avancées dans la compréhension de ces techniques nous donneront de nouvelles perspectives pour traiter des problèmes ouverts fondamentaux en analyse géométrique : la continuation du flot de Ricci au-delà des singularités, des théorèmes de la masse positive dans plusieurs contextes, singuliers et non, le problème isopérimétrique. Nous sommes convaincus que notre travail et nos compétences complémentaires et bien établies mèneront à des contributions significatives dans le domaine de recherche très actif de la courbure scalaire.