Groupes modulaires et géométrie des surfaces de type infini, à travers les courbes – MAGIC

Le but de MAGIC est d'étudier les surfaces de type infini (par exemple, les surfaces de genre infini) du points de vue de la topologie, de la géométrie et de l'analyse. Depuis quelques années, il y a eu une poussé d'intérêt pour ces surfaces, motivée par des questions en géométrie et topologie en basse dimension et en dynamique. Aujourd'hui il y a une communauté active qui travaille sur ce sujet, mais la plupart des problèmes de base sont encore ouverts. L'objectif de MAGIC est d'aborder certaines de ces questions et de prouver des résultats fondamentaux dans ce domaine. J'étudierai symétries topologiques et structures hyperboliques sur les surfaces de type infini. Plus précisément, j'étudierai le groupe modulaire d'une telle surface, défini comme étant le groupe de ses homéomorphismes qui préservent l'orientation à homotopie près. Assez compris pour surfaces de type fini, le groupe modulaire est encore très mystérieux pour surfaces de type infini : par exemple, on ne connait pas un "bon" système de générateurs -- étudier ce problème est un des objectifs de MAGIC. Les structures géométriques qui m'intéressent sont les métriques hyperboliques, c'est-à-dire, métriques riemanniennes de courbure constante -1. Chaque surface de type infini admet un espace de paramètres de dimension infinie de telles structures et MAGIC a comme but de approfondir notre compréhension de ces métriques, en particulier à travers l'étude des géodésiques fermées (simples ou pas). Des exemples de questions que j'étudierai sont : comment peut-on éteindre le comptage de courbes de Mirzakhani à ce contexte ? Que peut-on dire à propos du spectre des longueurs (le multiensemble des longueurs des géodésiques fermées, comptées avec multiplicité) des surfaces hyperboliques de type infini ? Ce problème mène aussi à des questions plus analytiques : en particulier, je m'intéresserai aux relations entre le spectre des longueurs et l'opérateur laplacien sur une surface hyperbolique de type infini. Les questions topologiques, géométriques et analytiques sont profondément liées et l'interaction entre ces points de vue est un des points de force de MAGIC et une clé de son succès.