Étude d'interactions d'ondes solitaires pour des équations d'onde non linéaires – INSOLIT

Plusieurs modèles de la physique mathématique admettent des solutions spéciales appelées des ondes solitaires, qui préservent leur forme au cours du temps. Dans le cas de modèles dispersifs, de petites perturbations du champ se propagent dans l'espace, de sorte que leur amplitude décroit. La Conjecture de Résolution en Solitons prévoit que, génériquement, une solution d'une équation non linéaire dispersive se décompose en une superposition d'ondes solitaires et d'une perturbation appelée la radiation, dont l'amplitude décroit en temps long.

Notre étude se focalisera sur des solitons topologiques qui apparaissent dans des modèles motivés par la Théorie Quantique des Champs : les kinks de la théorie phi^4 et les applications rationnelles du modèle sigma O(3). Les techniques que l'on aura développées seront pertinentes pour l'étude de divers types de solitons topologiques : tourbillons, monopoles, Skyrmions, instantons...

Notre but définitif dépasse la Résolution en Solitons, et consiste à établir une description asymptotique en temps infini, dans les deux directions du temps, des solutions du modèle considéré. Cette description doit être exacte au moins à l'ordre principal, et doit mettre en évidence les phénomènes intéressants du problème, qui sont les interactions entre les solitons, ainsi que les interactions des solitons avec la radiation.

Nous considérerons les cas particuliers suivants de cet objectif général : le problème de l'unique continuation après l'explosion pour l'équation des applications ondulatoires équivariante, l'étude des multi-solitons, et le problème de collision pour l'équation phi^4. L'étude de ces questions impliquera un mélange de techniques non perturbatives et perturbatives. Les premières dépendront fortement du modèle concret, tandis que les secondes seront applicables à toute équation dispersive possédant des ondes solitaires.