Systèmes non-différentiables et perturbations singulières – NonSPer

Les systèmes dynamiques non-lisses apparaissent dans de nombreuses applications, notamment pour modéliser des systèmes mécaniques soumis à des chocs. L'objectif principal du sujet est de développer une théorie qualitative similaire à celle existant pour les systèmes lisses.
Une approche naturelle pour étudier de tels systèmes est la régularisation, qui produit une famille de systèmes dynamiques lisses convergeant vers le système initial.
Une des questions délicates est d'établir sous quelles conditions la dynamique de cette famille régularisante permet de décrire la dynamique dans le cas limite non lisse.
En 2006, Buzzi, Teixeira et da Silva ont proposé un cadre géométrique pour étudier une telle régularisation. Ce cadre relie naturellement les familles de régularisation mentionnées ci-dessus aux systèmes de perturbation singulière; établissant ainsi un pont entre ces deux sujets. Il existe maintenant une littérature importante sur cette approche, mais principalement limitée aux systèmes dits de type régulier, où le lieu de non-lissité est une hypersurface lisse. Cependant, il existe plusieurs cas d'intérêt (tels que les systèmes à commutateurs multiples) où une telle condition de régularité n'est pas satisfaite.
Dans un article de 2018, Panazzolo et da Silva ont proposé une théorie de régularisation pour les systèmes de type non régulier. De nombreux problèmes fondamentaux sont encore ouverts, comme une étude qualitative complète des germes de champs de vecteurs planaires possédant un locus de discontinuité de type croix.
L'objectif principal de ce projet est d'explorer davantage ces sujets, en renforçant la collaboration entre l'équipe brésilienne (da Silva et Buzzi) et l'équipe française (Panazzolo, Fruchard). L'une de nos priorités sera de recruter et de former un doctorant pour travailler sur ce sujet. Nous prévoyons de superviser cet étudiant de manière collaborative, en lui permettant de faire de longs séjours dans les deux universités pendant le projet.