Dynamique symbolique et développements arithmétiques – SymDynAr

En Autriche comme en France, la recherche sur les systèmes dynamiques, notamment ceux en lien avec les développements arithmétiques et les fractions continues, a une longue tradition. L'objectif de notre projet est de réunir les compétences des deux pays et de tirer parti de la mise en commun des deux points de vue sur ces sujets. Il nous paraît donc essentiel de réaliser cette recherche dans le cadre d'un projet bilatéral, qui inclura également des collaborations de pays tiers. Cette collaboration intensive entre nos deux pays est définitivement une valeur ajoutée à notre projet.

Les systèmes dynamiques et leurs codages sont au coeur de ce projet. Nous considérons une grande variété de systèmes dynamiques. Cela comprend les codages symboliques, comme les décalages substitutifs, les systèmes S-adiques et, plus généralement, les systèmes de Cantor, mais aussi les systèmes dynamiques continus, comme ceux que l'on rencontre en numération, dans les algorithmes de fractions continues, dans les schémas de coupe-et-projection dans la modélisation mathématique des quasi-cristaux ou dans l'étude des automorphismes du tore. Ces derniers peuvent d'ailleurs être considérés à la fois du point de vue discret et du point de vue continu, via les suspensions et les flots associés. On a donc affaire à des systèmes déterministes aussi bien que chaotiques. Les systèmes symboliques constituent un domaine très important des mathématiques et ont contribué à l'obtention de nombreux résultats nouveaux dans les branches les plus diverses. L'un de nos objectifs est de mettre au jour des systèmes symboliques conjugués à un système donné, d'étudier les propriétés de ces nouveaux systèmes symboliques, puis de transférer ces propriétés au système dynamique de départ afin de mieux le comprendre. En effet, les représentations des systèmes initiaux en terme de systèmes symboliques (comme les décalages sofiques ou les décalages de type fini) sont très utiles pour déduire des propriétés concernant leurs valeurs propres, leurs invariants ou la récurrence. Dans notre cas, les représentations sont très liées à la numération et aux fractions continues. Les codages peuvent être obtenus en utilisant, par exemple, des partitions (de type Markov ou autres) ou des sections de Poincaré. Nos codages admettent une invariance d'échelle qui permet de les modéliser par des schémas de renormalisation. Comme la dynamique de renormalisation est hyperbolique, elle peut être analysée en appliquant les méthodes bien connues de dynamique hyperbolique. Notre originalité est que nous mettons l'accent sur les systèmes de nature arithmétique, si bien que ce sont des algorithmes de fractions continues qui gouvernent les schémas de renormalisation. De plus, nous exploitons fortement la relation entre les fonctions arithmétiques et les suites issues de systèmes dynamiques symboliques et de développements symboliques. L'accent sera mis en particulier sur l'étude des exposants de Lyapunov d'algorithmes de fractions continues multidimensionnels.

Nous nous attacherons à comprendre et à développer en profondeur tous les aspects des systèmes dynamiques symboliques que nous rencontrerons dans notre étude, à savoir les propriétés géométriques et dynamiques des espaces de décalage avec l'étude d'échanges d'intervalles infinis (Tâche No 1), la renormalisation avec un accent mis sur les fractions continues (Tâche No 2), ainsi que les propriétés arithmétiques et spectrales (Tâche No 3). L'étude dynamique des nombres normaux et de la conjecture de Sarnak sera l'objet de la tâche No 4. Nous appliquerons nos résultats à l'arithmétique et à la normalité, avec des problématiques de décidabilité et des liens avec les aspects mathématiques des quasi-cristaux dans le cadre de l'ordre apériodique.