Quantification des variétés de Caractères comme Modèle pour le chaos quantique – QCM

L'objectif du Chaos quantique est de comprendre la contrepartie quantique de la notion d'ergodicité des systèmes dynamiques classiques. Dans le cadre du flot géodésique agissant sur le fibré cotangent d'une variété riemannienne, cela consiste à comprendre la distribution à grande échelle des valeurs propres et des fonctions propres du Laplacien riemannien en termes des propriétés d'ergodicité du flot géodésique.

On peut aussi considérer la quantification d'un système dynamique discret agissant sur un espace des phases compact. L'exemple fondamental est la Cat Map d'Arnold agissant sur le tore bidimensionnel, dont la contrepartie quantique a ensuite été intensivement étudiée en tant que modèle jouet pour le Chaos Quantique. La Cat Map agissant sur le tore bidimensionnel est l'exemple le plus simple d'une classe très riche de systèmes dynamiques discrets d'un grand intérêt en géométrie et en topologie, donnée par l'action des groupes modulaires de surfaces sur les variétés de caractères, et dont la quantification porte le nom de Représentations Quantiques. Plusieurs modèles pour ces quantifications sont disponibles, incluant des modèles topologiques d'une part et des modèles géométriques d'autre part.

Le but de ce projet est de considérer ces Représentations Quantiques comme des modèles pour l'étude des phénomènes typiques en Chaos Quantique. Pour cela, ce projet réunit une équipe de jeunes chercheurs et chercheuse, composée pour moitié d'experts dans les modèles topologiques et pour autre moitié d'experts dans les outils analytiques et géométriques de la quantification. Ce projet présente trois Axes principaux :

Le premier Axe consiste à étudier les propriétés d'ergodicité quantiques bien connues pour le tore bidimensionnel dans le cadre de variétés de caractères plus générales. En premier lieu, nous comptons étudier le Principe d'Ergodicité Quantique dans des exemples précis de variétés de caractères bien étudiées. En deuxième lieu, nous comptons étudier des phénomènes plus raffinés, tels que les suites exceptionelles et le Principe d'Incertitude Fractal, au cas où la variété des caractères se présente comme le quotient d'un tore de dimension quelconque par un groupe fini. En dernier lieu, nous comptons étudier les applications dynamiques de la formule des traces semi-classiques dans ce contexte.

Le deuxième Axe fait suite au premier, en ce qu'il concerne la formule asymptotique de Witten, vue comme formule des traces semi-classiques dans le contexte des variétés de caractères dites non-abéliennes. En premier lieu, nous comptons étendre cette formule, connue dans des cas particuliers, à des cas plus généraux en utilisant des outils de théorie de l'indice local dans le cadre des surfaces paraboliques. En deuxième lieu, nous comptons étendre cette étude dans le cas des 3-variétés obtenues par recollement de variétés à bord, en s'appuyant sur des modèles existant faisant le lien entre modèles topologiques et géométriques.
En dernier lieu, nous comptons faire le lien entre modèles topologiques et modèles géométriques via l'étude des opérateurs courbes et des systèmes intégrables quantiques.

Le troisième Axe fait suite aux deux premiers en ce qu'il se propose d'étendre l'interprétation géométrique des modèles topologiques de Représentations Quantiques au cas où celles-ci ne sont plus des espaces Hermitiens, mais sont munies à la place d'un produit sesquilinéaire quelconque. En premier lieu, nous comptons construire des modèles géométriques pour de telles Représentations Quantiques sur une base axiomatique. En deuxième lieu, nous comptons interpréter les conjectures du Volume de Kashaev et Chen-Yang comme des formules des traces semi-classique dans ce contexte, afin de ramener ces conjectures à un problème d'équivalence entre modèles topologiques et géométriques. En dernier lieu, nous étudierons les modèles dit homologiques dans ce cadre afin de fournir de faire le lien entre modèles topologiques et géométriques.