Espaces de modules du point de vue des surfaces plates et hyperboliques aléatoires – MOST

La géométrie et la dynamique des espaces des modules de différentielles abéliennes permet d’étudier des feuilletages de surfaces, des billards polygonaux, ainsi que certains modèles de physique statistique. Les contributions d'A. Avila, A. Eskin, C. McMullen, M. Mirzakhani, M. Kontsevich, A. Okounkov, J.-C. Yoccoz, pour ne citer que les lauréats de la médaille Fields et du prix Breakthrough, ont fait de la géométrie et de la dynamique dans les espaces de modules l'un des domaines les plus actifs des mathématiques modernes. En considérant toutes les métriques hyperboliques (ou toutes les métriques plates) sur une surface du genre g fixé, on observe une diversité de propriétés géométriques de plus en plus sophistiquées quand le genre g grandit. Cependant, "la plupart" des métriques, au contraire, partagent progressivement une certaine similitude de propriétés géométriques convergeant en un certain sens rigoureux. Ici, la notion de « la plupart» a une signification quantitative explicite, par exemple, en termes de mesure finie de Weil-Petersson sur l'espace des modules. Les caractéristiques globales des espaces de modules, comme les nombres d'intersection des classes ?, ont été traditionnellement étudiées à l'aide d'outils algèbro-géométriques, où toutes les formules sont exactes, mais difficiles à manipuler en grands genre. Nous avons découvert que certaines caractéristiques importantes admettent des formules asymptotiques simples, uniformément en grand genre. Le projet vise à étudier la géométrie et la dynamique asymptotique des espaces de modules et des objets associés en grand genre d'un point de vue probabiliste et asymptotique. Cela produira des applications à la géométrie énumérative, à la combinatoire et à la dynamique, y compris au comptage des méandres, à la solution du problème d'Arnold sur les échanges d'intervalles entiers aléatoires, l'asymptotique des exposants de Lyapunov et des taux de diffusion des billards d'Ehrenfest.