Estimation d'erreur a posteriori pour les équations d'ondes – APOWA

Les problèmes de propagation d'ondes apparaissent naturellement dans beaucoup d'applications où ils peuvent être modélisés par des équations aux dérivées partielles (EDPs) linéaires hyperboliques. Lorsque la géométrie est complexe, les méthodes d'éléments finis et de Galerkin discontinues sont très populaires pour calculer des approximations numériques de ces problèmes. Néanmoins, même si la convergence de ces méthodes sur des maillages uniformes a été largement étudiée dans la littérature, le développement de bornes d'erreur explicites et de maillages spécifiquement adaptés à la solution fait défaut. En pratique, cela veut dire que (a) il est difficile d'estimer de façon fiable l'erreur de discrétisation associée à un maillage donné et (b) la majorité des ressources calculatoires est gaspillée, puisque beaucoup d'éléments du maillage pourraient être supprimés ou agrandis sans impacter la précision. Le but de ce projet est alors de développer des majorations d'erreur garanties et des maillages optimalement adaptés. Pour cela, on s'appuiera sur l'estimation d'erreur a posteriori et les raffinements adaptatifs de maillages.

Pour les EDPs elliptiques et paraboliques, l'utilisation conjointe d'estimateurs d'erreur et de raffinements adaptatifs est une solution très convaincante aux deux problèmes mentionnés ci-dessus. En revanche, les EDPs hyperboliques ne sont pas couvertes par l'état de l'art et le but de ce projet est de généraliser cette approche aux problèmes de propagation d'ondes. Il s'agit là d'une tâche difficile, puisque contrairement aux EDPs elliptiques et paraboliques, les EDPs hyperboliques ne sont pas inf-sup stables dans des normes de Sobolev naturelles. Ce projet se base sur une avancée récente du porteur qui permet de contourner l'absence de stabilité inf-sup, et ouvre une voie vers le développement d'estimateurs a posteriori et d'algorithmes de raffinement de maillages.