Ordres Stochastiques et Transport Contraint – SOCOT

Notre objectif est d'approfondir la compréhension des ordres stochastiques, objets omniprésents dans les mathématiques de la décision, en lien avec les problèmes de transport optimal faible, un cadre important du transport de masse généralisé, vecteur de nouvelles possibilités d'applications. En fédérant une large combinaison d'expertises nous aborderons des questions de fond et exploiterons ces outils dans des contextes nouveaux. Le projet s’articule autour de trois axes et de trois pôles. Axe I : PROBLÈMES DE TRANSPORT SOUS CONTRAINTES STOCHASTIQUES ET APPLICATIONS. Axe II : UTILISATION POUR LES INÉGALITÉS FONCTIONNELLES ET LA GÉOMÉTRIE DES CONVEXES. Axe III : APPLICATION EN TRAITEMENT D’IMAGES, DE DONNÉES ET DU SIGNAL. Les universités partenaires sont l’Université de Haute Alsace (pour le pôle 1, probabilités et actuariat), l'Université Paris-Cité (pôle 2, analyse, géométrie et probabilités) et l'Université de Toulon (pôle 3, optimisation, analyse et traitement de données).

Un ordre stochastique est une relation d'ordre entre mesures, généralement de probabilité. Cet ordre est en général induit par des fonctions test appartenant à un espace fonctionnel, le plus souvent dans un cône A. Les deux relations d'ordre les plus fréquemment utilisées sont l'ordre croissant et l'ordre convexe, pour lesquels A est respectivement l'espace A_1 des fonctions croissantes ou celui A_2 des fonctions convexes. Le répertoire des ordres stochastiques est en fait immense ; ils apparaissent en recherche opérationnelle, théorie des jeux, mathématiques de la décision ou statistique. Ils tiennent, par ailleurs, une place centrale dans la théorie de Choquet et en théorie du potentiel.
Le lien entre les problèmes de transport faibles et les ordres stochastiques se fait par les noyaux de probabilités (les lois conditionnelles des couplages en jeu) car ils apparaissent justement à la fois dans les théorèmes de type Strassen et dans la formulation des coûts faibles.