Géométries de Hilbert sur les corps valués – HilbertXfield

Une géométrie de Hilbert est définie sur tout corps convexe dans un espace affine réel. Cette notion est la source de nombreux exemples d'espaces métriques et a connu beaucoup d'applications dans des domaines variés depuis sa définition en 1895 par Hilbert. Les participants à ce projet contribuent à différentes généralisations de cette notion et de ces applications dans des contextes où le corps de base n'est plus le corps des réels.

Ce projet a trois objectifs principaux:
- développer une approche unifiée à ces généralisations: définitions unifiés, généralisation commune des résultats de Benzécri et de la notion de volume;
- explorer les interactions entre les différents contextes de généralisation, à l'aide de nombreuses familles d'exemples;
- obtenir des applications importantes dans chaque cas d'étude.

Ces applications sont attendues dans différents projets dont:
- l'étude des métriques d'entropie minimale sur les espaces symmétriques;
- l'étude géométriques des dégénerescences de structures projectives convexes sur les surfaces;
- l'étude de la frontière des représentations Anosov, en particulier dans le contexte de la géométrie hyperbolique complexe;
- le développement de nouveaux algorithmes de programmation linéaire, avec le 9ème problème de Smale en ligne de mire.