Graphes quantiques non linéaires – NQG

Les graphes quantiques non linéaires sont des graphes métriques, c'est-à-dire des graphes dont les arêtes sont considérées avec une structure métrique, dotés d'une équation de Schrödinger non linéaire. Ils présentent un intérêt à la fois du point de vue physique, car ils constituent un modèle simplifié de la dynamique des structures allongées, et du point de vue mathématique, car leur analyse pose des défis nouveaux et intéressants. Si les graphes quantiques non linéaires suscitent aujourd'hui beaucoup d'intérêt à l'étranger, ce n'est pas encore le cas en France. Le but de ce projet est de rassembler des chercheurs français partageant un intérêt pour ce sujet et possédant des compétences complémentaires. Nous visons à nous établir comme une équipe leader dans l'analyse des graphes quantiques non linéaires, tant du point de vue numérique que théorique. Une partie importante du projet sera le développement du sujet via la formation de jeunes chercheurs.

Comme lorsque l'équation de Schrödinger non linéaire est placée sur l'espace entier, l'étude des solutions stationnaires fera l'objet d'une attention particulière. Les questions qui se posent quant à l'existence et au comportement de ces solutions (comme leur stabilité orbitale ou asymptotique), dépendent du type de graphe considéré (compact, non compact, périodique, de type arbre, ...), du choix des conditions aux sommets (Kirchhoff, Dirac, ...), du type de non-linéarité (masse sous-critique, masse supercritique, locale ou non-locale, focalisante ou défocalisante), etc.

Nous avons l'intention d'attaquer l'analyse des graphes quantiques non-linéaires avec une fertilisation croisée de l'approche numérique et analytique. Parmi les directions qui nous intéressent, mentionnons :
- Les relations entre diverses caractérisations variationnelles des solutions.
- L'existence de solutions de masse prescrite pour les graphes métriques dans le cas supercritique de masse ;
- L'existence de solutions à changement de signe sur les graphes métriques ;
- La dynamique autour des ondes stationnaires ;
- Le développement de nouvelles méthodes numériques efficaces pour les problèmes énumérés ci-dessus, leur analyse et leur implémentation sous forme d'une bibliothèque ouverte et facile à utiliser.