Preuves assistées par ordinateur pour des équations aux dérivées partielles et des équations stochastiques – CAPPS

L'étude de la dynamique globale d'équations différentielles non linéaires est une question très délicate. Ne serait-ce que prouver l'existence d'équilibres non triviaux ou d'orbites périodiques est souvent déjà difficile, du moins si l'on sort de régimes de paramètres perturbatifs ou asymptotiques, sans parler d'obtenir des orbites reliant ces types de solutions, ou encore moins de prouver l'existence de dynamiques plus complexes, par exemple chaotiques. Dans ce contexte, il existe souvent un écart important entre ce qui peut être observé et conjecturé à partir de simulations numériques, et ce qui peut réellement être prouvé mathématiquement. L'objectif de ce projet est de dépasser cette apparente dichotomie en développant de nouvelles techniques assistées par ordinateur, permettant essentiellement de transformer des simulations numériques en théorèmes mathématiques.

Les preuves assistées par ordinateur ont récemment gagné en popularité dans les domaines des équations différentielles et des systèmes dynamiques, et peuvent désormais être utilisées pour étudier les EDO de manière plutôt systématique. Notre objectif principal est de développer de tels outils pour l'étude de certaines classes d'EDP et d'EDS, permettant d'obtenir de nouveaux résultats actuellement hors de portée des techniques purement analytiques. Voici les principales directions que nous souhaitons explorer :
- existence et description précise de patterns (états stationnaires non homogènes) pour des EDP quasi-linéaires ;
- propriétés de stabilité, des patterns précités, mais plus généralement de solutions obtenues à l'aide de techniques assistées par ordinateur ;
- estimations de grandes déviations pour les exposants de Lyapunov à temps fini d'EDS, permettant de prédire un changement de signe du premier exposant de Lyapunov ;
- un cadre unifié pour décrire les preuves assistées par ordinateur basées à la fois sur les méthodes des éléments finis, des volumes finis, et sur des techniques spectrales.

Nous prévoyons de nous concentrer sur certains problèmes spécifiques, comme les modèles de chimiotactisme en dynamique des populations, mais les nouvelles techniques assistées par ordinateur produites par ce projet seront par nature plutôt robustes, et fourniront donc un nouvel ensemble d'outils pour étudier un large éventail d'équations différentielles non linéaires.