Nouvelles méthodes en géométrie algébrique réelle – NewMIRAGE

La géométrie algébrique réelle s'intéresse au lieu d'annulation d'un polynôme à coefficients réels (ensemble algébrique) et au lieu de positivité d'un tel polynôme (ensemble semi-algébrique).
Bien que la géométrie algébrique réelle partage des notions communes avec la géométrie algébrique complexe, les variétés algébriques réelles se comportent différemment de leurs pendants complexes (par exemple, l'espace projectif réel est affine) et la théorie des schémas est moins adaptée à l'étude des variétés algébriques réelles puisque le Nullstellensatz n'est plus valide.
Ainsi la géométrie algébrique réelle a suivi un chemin différent de la géométrie algébrique complexe : elle repose moins sur l'algèbre commutative et plus sur des outils analytiques.
C'est une branche des mathématiques qui se situe à l'intersection de la géométrie algébrique, de l'algèbre commutative, de la géométrie analytique, de la topologie différentielle et de la théorie des modèles.
Récemment, la géométrie algébrique réelle effective a connu un développement rapide en lien avec des problèmes issus de la robotique ou de la conception assistée par ordinateur.
Le projet NewMIRAGE se divise en deux axes, chacun ayant ses propres problèmes de recherche.
Axe 1. Un problème majeur de la géométrie algébrique réelle consiste à définir un anneau de fonctions sur une variété algébrique réelle ayant de bonnes propriétés et permettant d'étudier cette dernière. Nous nous intéressons à deux classes de fonctions actuellement étudiées : les fonctions rationnelles continues et les fonctions régulues.
Axe 2. La fibre de Milnor est une source riche d'invariants permettant d'étudier les singularités d'hypersurfaces analytiques complexes. Dans un travail récent, J.-B. Campesato, G. Fichou and A. Parusinski ont construit une généralisation commune des fibres de Milnor topologique et motivique. Nous nous intéressons au développement et à l'étude d'une version réelle de cette généralisation.