Programme de Sarkisov en dimension supérieure, sur des corps imparfait et pour des transformations birégulues – Saphidir

Un objectif fondamental de la Géométrie Algébrique est de classifier les variétés algébriques à isomorphisme près. C'est extrèmement dûr, déjà pour les surfaces, et ouvert en général. Il est devenu clair qu'on peut seulement espérer une classification à transformations birationnelles près, càd, isomorphismes entre des ouverts dense. Comprendre des transformations birationnelles est alors une étape principale vers une classification des variétés algébriques.
Pour une des familles les plus larges des variétés algébriques, les fibrations de Mori, une transformations birationnelle entre elles est la composition des transformations birationnelles dites liens Sarkisov. Pour des surfaces définies sur des corps gentils, les liens de Sarkisov sont bien-compris, mais peu est connu en dimension trois ou plus grande, sur n'importe quel corps. La compréhension des liens Sarkisov signifiera une avance énorme dans l'étude des transformations birationnelles et un grand pas vers une classification d'une famille large des variétés algébriques.
L'objectif très ambitieux du projet est de décrire complètement tout lien Sarkisov en tout dimension et dans plusieurs contextes non-classiques en terme de lien de base, hypersurfaces contractées et transformation birationnelle induites entre les bases des fibrations de Mori impliquées. Si atteint, les résultats vont révolutionner l'étude des transformations birationnelles et mettre en place des nouveaux outils pour déterminer des classes des variétés algébriques dans plusieurs contextes.
En dimension trois et plus grande, déjà la classification des liens de Sarkisov sur le corps des nombres complexes est très ambitieux. Une autre difficulté est l'étape de classifier les liens de Sarkisov sur un corps de caractéristique positive, parce-que la géométrie algébrique sur tels corps est encore plus délicat que celle sur les nombres complexes.
Le programme des modèles minimals, une importante domaine de recherche active en géométrie birationnelle a fait des avances extraordinaires dans la dernière décennie. Des idées et techniques récemment developées permettes une attaque aux transformations birationnelles entre des variétés algébriques en étudiant des liens Sarkisov.