Résolution numérique-symbolique d'équations différentielles – NODE

En tant que langue de la nature, les équations différentielles sont omniprésentes en science. Ainsi, leur résolution pose un problème fondamental de calcul, avec des nouveaux défis pour l'utilisation de technologies HPC désormais très abordables. Pour des applications, des solutions numériques approximatives suffisent souvent. Les méthodes numériques les plus populaires sont de petit ordre, comme les schémas de Runge–Kutta, et se limitent à la précision simple ou double.

Depuis le début, on a également cherché à résoudre des équations différentielles à la main, de manière symbolique. Des méthodes plus systématiques ont vu le jour avec l'arrivée du calcul formel. En théorie, l'algèbre différentielle fournit même une théorie d'élimination complète pour des équations non-linéaires. Mais la complexité de ces méthodes est souvent prohibitive.

Notre projet NODE vise à combiner des méthodes numériques et symboliques modernes afin de résoudre des équations différentielles. Notre premier but est de développer des nouvelles méthodes numériques plus efficaces pour des ordres élevés et pour la certification des résultats. Ces algorithmes sont utiles lorsque des méthodes traditionnelles deviennent numériquement instables. Nous ambitionnons de les implanter dans une librairie HPC open source avec une interface similaire que des librairies numériques standards.

Notre deuxième objectif principal est de développer et implanter des contreparties différentielles pour des solveurs de systèmes polynomiaux basés sur des méthodes par homotopie. Ces méthodes utilisent des structures de données compactes et évitent le grossissement des expressions intermédiaires. Par conséquent, elle devraient être plus efficaces, à la fois en théorie et en pratique. Nous étudierons des homotopies numériques et algébriques.