Un calcul pour les équations aux dérivées partielles avec données aléatoires de faible régularité – Smooth

La dernière quizaine d'année a vu des progrès considérables dans notre compréhension de certaines classes d'équations aux dérivées partielles (EDPs) stochastiques après les travaux précurseurs de Burq & Tzvetkov sur les équations des ondes sur-critique avec données initiales aléatoires et les travaux fondateurs de M. Hairer et Gubinelli, Imkeller et Perkowski sur les EDPs stochastiques elliptiques ou paraboliques singulières. Ces développements fondamentaux ont posé les bases de théories robustes pour des classes d'équations classiquement mal posées, en raison de la faible régularité des données aléatoires dans les problèmes. Alors que la théorie des structures de régularité et l'approche du calcul paracontrôlé ont leurs racines dans la théorie des rough paths de T. Lyons, les progrès du côté dispersif ont leurs racines dans des travaux de Bourgain sur les mesures de Gibbs invariantes pour des équations de Schrödinger non linéaires datant du milieu des années 90. Ces dernières années, il est devenu évident que les idées mises en jeu côté dispersif font écho à des stratégies développées côté EDPs singulières. Par exemple, dans les deux cadres toute solution éventuelle est décomposée en une somme finie de termes aux propriétés de régularité sous le seuil traité par l'analyse déterministe, à laquelle on ajoute un reste plus régulier que l'on peut traiter par des outils d'analyse adapté au type d'équation considéré -- espaces de Bourgain ou structures de régularité ou paracontrôlées.
L'objectif de ce projet est de clarifier en profondeur les aspects communs et les différences qui se rencontrent dans l'analyse des EDPs dispersives avec données initiales aléatoires et des EDPs stochastic singulières. On identifiera aussi de nouvelles interactions entre ces domaines, tout en développant des outils spécifiques à chaque cadre.