Au delà du Permutoèdre et de l'Associaèdre : Géométrie, Combinatoire, Algèbre et Probabilité – PAGCAP

Un aspect clé de notre approche est d'engendrer la coopération pour exploiter nos expertises dans différents domaines. Dans ce but, nous avons organisés des workshops de façon régulière proposant à la fois des exposés en lien avec le projet ainsi que des temps ouverts de discussions et de recherche. Un workshop typique accueille entre 15 et 25 participants et participantes pour une durée de 2 à 3 jours avec à la fois des membres permanents, des membres associés, des étudiants et étudiantes, des chercheurs et chercheuses invitées, etc.

Nous avons eu 5 de ces workshops au cours du projet :

* 6 avril -- 8 avril 2022, à Sorbonne Université, Paris, France;

* 14 mai -- 18 mai 2023 à Weissensee, Autriche;

* 8 novembre -- 10 novembre 2023 à Orsay, Université Paris-Saclay, France;

* 15 mai -- 17 mai 2024 à Strobl, Autriche;

* 6 novembre -- 6 novembre 2025, à l'Université de Barcelone, Espagne.

Un autre aspect essentiel de notre méthodologie de recherche est l'exploration combinatoire, en utilisant en particulier le logiciel SageMath. Ceci a été développé à la fois dans nos workshops habituels ainsi que lors d'un évènement spécifique Sage Days organisé à Orsay en juillet 2025.

Nous avons obtenu plusieurs résultats majeurs dans les différents axes du projet.

Nous avons travaillé à la généralisation de structures combinatoire en lien avec le treillis de Tamari. Quatre articles sont dédiés à l'étude du s-ordre faible défini par Ceballos et Pons et à la preuve de la conjecture ouverte au départ du projet. D'autres résultats concernent les énumérations d'intervalles, la description combinatoire des treillis m-Cambriens, l'introduction de nouvelles structures de treillis et l'étude de la diagonale de l'associaèdre.

En géométrie discrète, de nombreux articles ont été publié en lien avec l'étude des cônes de déformation, la réalisation polyhédrale de généralisations de l'associaèdre, les polytopes de balayage, la déformation du cône du permutaèdre et la réalisation des matroïdes orientés avec en sus une application à la théorie des catégorie.

Nous avons obtenu des résultats majeurs en algorithmique avec, en particulier, une preuve que le calcul de la distance de rotation entre deux arbres binaires est NP-complet. Cette question était ouverte depuis de nombreuses années et était listées parmi les objectifs possibles du projet.

En algèbre et probabilité libre, quatre articles ont été publiés sur les cumulants libres en lien avec les pre-Lie exponentielles, les processus de Markov, la probabilité quantique et les séries multivariées.

Bien que nous classifions nos résultats en grandes thématiques, nombreux d'entre eux ont été obtenus grâce aux actions du projets réunissant les différents points de vue et permettant ainsi collaboration et discussions.

Par ailleurs, nous avons eu 4 soutenances de thèses durant le projet ainsi qu'une soutenance d'HDR et 10 nouveaux et nouvelles étudiantes ont démarré leur thèse sur les thématiques du projet dont un financé par le projet lui-même.

Un nouvel axe a émergé au cours du projet : l'étude des treillis de framing et des polytopes de flots. Cette thématique est présente dans nos rencontres depuis environ deux ans et elle a motivé la création de plusieurs groupes de recherches. Par exemple, les polytopes de flots sont utilisés dans la première preuve de la conjecture de Ceballos et Pons à travers un travail mené par deux étudiants en thèse du projet. Les treillis de framing ont aussi été au coeur du travail de Clément Chevenière, postdoc recruté pour les deux denières années du projet. Ils sont maintenant étudié dans deux thèse et devraient apparaître dans plusieurs articles après la fin du projet.

La preuve de la NP-complétude de la complexité de la distance de rotation entre arbres binaires a aussi ouvert de nouvelles perspectives sur d'autres objets combinatoires comme, par exemple, les permutarbres. De façon générale, c'est un premier pas vers une meilleure compréhension du lien entre les structures issues de la combinatoire algébrique et les questions algorithmiques.

Une autre direction à explorer est le lien entre structures de treillis, géométrie discrète et théorie des représentations. Plus généralement, nous souhaitons comprendre quels ponts peuvent être créés entre les questions algébriques venant de la théorie des représentations et les problèmes algorithmiques et de calcul.

Ce projet aborde des questions et problèmes ouverts au delà du permutoèdre et de l'associaèdre. Notre travail se base sur une combinaison de techniques issues de plusieurs domaines. Cela inclut la combinatoire, la géométrie discrète, l'algorithmique, l'algèbre et les probabilités libres. Voici une sélection des sujets abordés :

* Combinatoire : propriétés combinatoires des ordres partiels et treillis liés comme le treillis de Tamari, l'ordre faible des chute de pipe dreams, le treillis des rotations de classes d'arbres binaires, et l'ordre partiel des flips des complexes de sous-mots.

* Géométrie : problèmes ouverts liés aux complexes combinatoires par constructions géométriques, étude des espaces de réalisations et types de cônes, et questions liées aux ombres permutaédrales et aux sweeps de matroïdes orientés.

* Algorithmique : complexité du plus court chemin et étude du graphe des rotations des arbres binaires et ses généralisations en utilisant la technologie des complexes de sous-mots et des groupes de Coxeter.

* Algèbre et Probabilités libres : nouvelle approche des bases combinatoires des probabilités libres et de ses relations avec les algèbres de Hopf combinatoires par des objets combinatoires et géométriques tels que les partitions, les partitions non croisées, les arbres binaires et le polytope de Pitman--Stanley