Dynamiques conformément symplectiques, au delà du symplectique – CoSyDy

Le projet CoSyDy va étudier les dynamiques conformément symplectiques (DCS) qui multiplient la forme symplectique par un facteur constant k et leurs généralisations aux variétés conformément symplectiques. Quelles conditions sur la dynamique ou la variété pour l'existence d'un attracteur ? Nous étudierons différentes caractéristiques des attracteurs : les mesures invariantes, l'entropie, la répartition des valeurs de fonctions ponctuelles comme les vecteurs rotations, les indices de Maslov asymptotiques, les exposants de Lyapunov etc. Nous utiliserons les invariants spectraux de la géométrie symplectique pour prouver des résultats d'existence et d'unicité pour les sous-variétés lagrangiennes contenues dans l'attracteur. Pour des familles de DCS, nous étudierons comment la dynamique dépend des paramètres, comme le facteur k. Nous pensons que la dynamique se simplifie quand k est petit et que des informations du cadre conservatif peuvent être obtenues en faisant tendre k vers 1. Nous montrerons des résultats de rigidité
à l’aide de méthodes variationnelles.