Dynamiques d'invasion et asymptotiques non triviales – Indyana

Notre projet porte sur l'analyse mathématique de systèmes d'équations aux dérivées partielles nonlinéaires de type réaction-diffusion qui servent de modèle à la description de l'évolution de la densité de plusieurs populations sous les effets joints de la diffusion et de réaction. De tels systèmes ont une structure riche et se caractérisent souvent par la présence de solutions en onde progressive stables. Ils ont reçu une grande attention depuis les années 1930 et pourtant ils restent un champ de recherche extrêmement actif dans la communauté mathématique. Par ailleurs, ils interviennent dans de nombreux domaines d'applications: réactions chimiques, combustion, dynamique des populations, écologie évolutive, neurosciences, épidémiologie, etc... C'est pourquoi l'étude théorique de tels systèmes d'équations est d'une grande importance pour la compréhension des phénomènes de propagation, de combustion de flamme, de propagation d'épidémie, des invasions bactériennes ou chimiques, ou encore la propagation d'activité corticale. Les questions typiques qui ont été étudiées par les mathématiciens peuvent être formulées comme suit. Supposons qu'à un instant fixé, on se donne la configuration initiale de la densité de n espèces, que peut-on dire sur le comportement en temps long de chaque densité? Est-ce que chaque espèce se propage et arrive à coloniser son environnement? Si oui, à quelle vitesse? Quelle est la configuration spatiale finale de chaque densité? Pour les équations de réaction-diffusion scalaires possédant un principe de comparaison ou pour les systèmes monotones, les réponses aux questions soulevées ci-dessus sont bien connues. Cependant, sans plus d'hypothèse sur les termes de réaction, l'analyse des phénomènes de propagation pour de tels systèmes est très difficile, mais aussi très intéressante puisque des comportements plus réalistes et compliqués sont attendus dans les systèmes. Notre objectif est donc de développer de nouvelles techniques, adaptées aux systèmes qui n'ont typiquement pas de principe de comparaison, dans le but de fournir des éclairages nouveaux sur l'influence des interactions entre espèces sur leurs dynamiques respectives d'invasion, et pouvant même mener à des instabilités dans certains cas. Pour cela, nous avons identifié quatre problèmes ambitieux très largement interconnectés qui constituent les principales direction de recherche du projet Indyana:
- l'analyse des invasions en cascade et des mécanismes de verrouillage;
- l'analyse des mécanismes de propagation en milieu hétérogène et en présence d'auto-diffusion ou de diffusion croisée;
- l'analyse des dynamiques en spirale dans les systèmes de réaction-diffusion en forte compétition;
- l'étude des phénomènes de seuil (extinction vs propagation) dans les systèmes de de réaction-diffusion.
Ces problèmes sont très bien identifiés dans la communauté des chercheurs travaillant sur les systèmes de réaction-diffusion et ils représentent des thèmes très actifs de recherche auxquels notre groupe se situe à la pointe.