Aléa arithmétique – ArithRand

L'objectif du projet Franco-Autrichien « Arithmetic Randomness » (titre français : Aléa arithmétique) est d'obtenir des avancées sur plusieurs conjectures ouvertes et questions importantes en théorie analytique, métrique, probabiliste et additive des nombres. Chacun de ces problèmes implique un phénomène pseudo-aléatoire dans un contexte arithmétique. Les sujets les plus intéressants concernent les propriétés de répartition des nombres premiers et leurs interactions avec les systèmes de numération et les problèmes diophantiens. Comme les systèmes cryptographiques modernes sont très fortement basés sur les nombres premiers et les nombres pseudo-aléatoires, il est important de comprendre la distribution des quantités arithmétiques sous-jacentes et de quantifier leur caractère pseudo-aléatoire. Dans ce domaine la conjecture de Sarnak est l'objet d'une attention considérable. Elle affirme que la fonction de Möbius est orthogonale à toute suite engendrée par un système dynamique déterministe. Bien qu'elle soit encore ouverte dans sa forme la plus générale, des progrès considérables ont été accomplis. Mu¨llner (2017) l'a résolue pour les suites automatiques. Ce travail est basé sur la méthode de Mauduit et Rivat (2010) sur les chiffres des nombres premiers complétée par divers outils. La conjecture de Sarnak est intimement liée à la conjecture de Chowla relative aux corrélations de la fonction de Möbius. Plusieurs percées ont été obtenues récemment dans cette direction. On peut mentionner les résultats de Green et Tao (2012) concernant l'orthogonalité des "nilsequences", de Bourgain, Sarnak et Ziegler (2013) concernant la disjonction du flot horocyclique, de Frantzikinakis et Host (2018) sur la conjecture de Sarnak logarithmique pour les systèmes topologiques d'entropie nulle possédant des mesures ergodiques en quantité dénombrable, de Green et Bourgain (2012-16) concernant la complexité algorithmique de la fonction de Möbius, de Bourgain (2015) sur le nombre de nombres premiers avec des chiffres préassignés, de Matomäki et Radziwill (2016) sur les fonctions multiplicatives dans les petits intervalles, de Tao (2016) sur une version logarithmique de la conjecture de Chowla, et de Maynard (2019) sur les nombres premiers avec des chiffres manquants. Les preuves utilisent des outils de théorie analytique des nombres, de géométrie des nombres, des considérations diophantiennes ainsi que des systèmes dynamiques. Des aspects probabilistes et statistiques d'approximation Diophantienne jouent un rôle important dans l'étude des « corrélations des paires » qui sont en lien étroit avec la répartition des valeurs de la fonction Riemann zêta dans la bande critique.