Aléatoire, dynamique et spectre – ADYCT

Les quinze dernières années ont vu se développer des progrès importants sur la compréhension analytique des systèmes dynamiques chaotiques et des modèles d'ondes aléatoires. Même si ces développements ont eu lieu en parallèle, ils partagent de nombreux points communs dans leurs objectifs et leurs méthodes: distribution asymptotique des valeurs propres, existence de trou spectral, décroissance des corrélations, etc. Chacun de ces sujets joue un rôle fondamental dans l'étude de la quantification des systèmes chaotiques, un domaine connu sous le nom de chaos quantique. Le but de ce projet est de poursuivre le développement de ces thématiques et de développer les interactions grandissantes entre elles. Pour cela, nous rassemblons de jeunes chercheurs prometteurs et des plus expérimentés pour travailler sur trois tâches reliées:

- Tâche 1. Ondes aléatoires, dynamique hyperbolique et chaos quantique. Dans cette première tâche, nous approfondirons notre compréhension du modèle des ondes aléatoires, avec une attention particulière portée à sa relation avec le chaos quantique.Nous analyserons aussi les propriétés ergodiques des systèmes classiques chaotiques à travers le prisme de leur spectre de résonances de Ruelle et en imitant l'analyse de systèmes quantiques.

- Tâche 2. Systèmes faiblement chaotiques, équations cohomologiques et topologie différentielle. Dans cette seconde tâche, nous étendrons notre étude des spectres de Ruelle à des modèles dont les propriétés chaotiques sont plus faibles comme le flot de Teichmüller ou les flots Axiome A. Nous poursuivrons aussi les récents développements sur le contenu topologique de ces spectres de Ruelle.

- Tâche 3. Spectre d'opérateurs aléatoires. Dans cette dernière tâche, nous regrouperons les opérateurs qui nous intéressent dans des ensembles probabilistes, définissant ainsi des classes d'opérateurs aléatoires. Nous étudierons leur spectre de ce point de vue probabiliste. En particulier, nous montrerons comment cet aléa peut aider à répondre à certaines questions soulevées dans les deux premières tâches, e.g. sur l'existence d'un trou spectral, la distribution asymptotique des valeurs propres, les propriétés des fonctions propres, etc.