Groupes d’homéomorphismes de variétés – Gromeov

L'étude des actions des groupes sur les variétés est une extension des systèmes dynamiques plus classiques. Il s'agit d'un aller-retour entre algèbre et dynamique : les propriétés algébriques rendent la dynamique plus rigide, la dynamique donne des information sur l'algèbre.
La complexité du problème nous laisse avec beaucoup de questions non-résolues déjà pour les actions en dimension 1 et 2. Si en dimension 1 on peut déjà espérer une classification, on en est bien loin pour la dimension 2.
Le mot clé du projet pourrait être "interaction" : entre théorie des groupes et systèmes dynamiques, topologie et géométrie; entre dimension 1 et 2.
Ce projet réunit les experts du domaine, avec des compétences diversifiés et avec une très forte composante de jeunes chercheurs.

Ce projet comporte 3 axes de recherche principaux.

RT1) Pour les actions en dimension 1, nous souhaitons faire des progrès vers des problèmes de longue date, tels que le programme de Zimmer, les conjectures de Hector-Ghys-Sullivan (relation entre ergodicité et minimalité pour les feuilletage C² de codimension 1), l’étude de groupes simples de type fini agissant sur la droite, dynamique aléatoire avec applications aux opérateurs de Schrödinger. Nous bénéficierons de plusieurs résultats partiels obtenus ces dernières années par les membres du consortium.

RT2) Pour les actions en dimension 2, les résultats sont rares et le premier objectif du projet est de recenser sérieusement l’état de l’art (sous forme de monographie). Nous prévoyons d’employer plus systématiquement des résultats profonds de dynamique topologique afin de développer de nouveaux outils pour les actions de groupes. Une autre approche prometteuse consiste à étudier des sous-ensembles minimaux invariants, qui fournissent des représentations naturelles dans les « big mapping class groups », un sujet très actif à l'heure actuelle, à l'interface entre la topologie en basse dimension, la théorie des groupes géométriques et la géométrie hyperbolique. Enfin, nous prévoyons d’étudier la géométrie de grande échelle du groupe de tous les homéomorphismes d’une variété, en suivant les idées récentes introduites par Mann et Rosendal. Les membres impliqués dans cette partie du projet profiteront de l'interaction avec les autres membres experts en actions de groupes en dimension 1.

RT3) Nous étudierons également une classe particulière d’actions de groupes, issues des systèmes dynamiques classiques. Étant donné un flot d’Anosov X sur un 3-variété M, par un ancien résultat de Fenley, le groupe fondamental de M agit sur un plan bifeulleté, et par Calegari-Dunfield (suivant une idée de Thurston), il agit également sur un cercle topologique. Comprendre la dynamique de ces actions donne un moyen d’étudier la dynamique du flot d’Anosov X. Une de nos approches consistera à décrire comment certaines chirurgies opérées sur les flots d’Anosov affectent ces actions. Parmi les membres du consortium, Barbot et Bonatti font partie des meilleurs experts sur ce sujet.

Nous prévoyons d’organiser plusieurs rencontres, notamment un trimestre thématique: le sujet des actions de groupes sur les variétés a attiré une grande attention ces dernières années et ce sera l’occasion de discuter des progrès en invitant les meilleurs experts internationaux en France.
Une attention particulière sera accordée à l'organisation d'événements pour les étudiants et les jeunes chercheurs.
Au terme du projet, une grande conférence sera organisée et ce sera l'occasion de partager les résultats obtenus au cours des quatre années du projet.