Structures sur des surfaces – SoS

Le thème central de SoS est l'étude de structures géométriques et combinatoires liées aux surfaces et leurs espaces de modules. Bien que travaillant sur des thèmes communs, il existe un fossé réel entre les communautés de topologie géométrique et de géométrie algorithmique, et SoS a pour but de créer des ponts durables entre elles. Au delà d'un intérêt commun, les techniques provenant des deux communautés sont pertinentes et le gain en termes de collaborations sur le long terme est enthousiasmant.

En particulier, SoS a pour but d'étendre le champ de la géométrie algorithmique, un domaine à l'interface des mathématiques et de l'informatique qui développe des algorithmes pour résoudre des problèmes géométriques, à un éventail de contextes inexplorés. Au cours des deux dernières décennies, la recherche dans ce domaine a gagné un impact large à travers CGAL, the Computational Geometry Algorithms Library. En parallèle, des besoins en termes de géométrie non euclidienne sont apparus, par exemple en modélisation géométrique, neuromathématiques, ou en physique. Notre but est de développer la géométrie algorithmique pour certains de ces espaces non euclidiens, et de rendre ces développements disponibles pour des utilisateurs académiques et industriels.

Pour celà, SoS poursuivra une approche inter-disciplinaire, rassemblant des chercheurs dont les expertises couvrent un large spectre de mathématiques, algorithmique et développement logiciel. Une étude mathématique des objets considérés sera réalisée, ainsi que la conception d'algorithmes lorsque ce sera pertinent. Les algorithmes seront analysés à la fois en théorie et en pratique après des implémentations prototypes, qui seront peaufinées à chaque fois qu'une intégration à long terme dans CGAL pourra être envisagée.

Nos principaux sujets d'étude seront les triangulations de Delaunay et les motifs de cercles sur des surfaces, la géométrie polyédrale, et les systèmes de courbes disjointes et les graphes sur des surfaces.

En ce qui concerne les notions de triangulations de Delaunay et de motifs de cercles, nous avons l'intention d'étudier le cas des surfaces non compactes et le cas des surfaces hyperboliques générales. Nous explorerons la possibilité d'unifier leur étude et de concevoir des algorithmes pour des surfaces munies d'une structure projective complexe. Nous étudierons les plongements isométriques dans des espaces euclidiens d'un complexe cellulaire doté d'une structure métrique compatible.

Dans le domaine des structures combinatoires sur des surfaces et des espaces de modules, nous prévoyons de développer des algorithmes en coordination avec une meilleure compréhension des objets. Par exemple, nous considérerons les plus courts chemins ayant des propriétés topologiques données sur une surface donnée et les plus courts chemins entre des triangulations. De plus, nous tenterons d'améliorer la compréhension mathématique des relations entre les structures combinatoires telles que les graphes de pantalons et de "flips", et les objets continus tels qu'espaces de Teichmüller et de modules. Nous avons des buts ambitieux de nature mathématique aussi bien que de développement logiciel, qui nous permettront de découvrir de nouvelles directions de recherche.